Neue Wahrscheinlichkeit bestimmen, wenn Quote steigt

Question

Aufgabe:

Nach einer repräsentativen Umfrage unter Schülern haben  80% ein Profil bei Facebookprofil. Eine Schule hat 1400 Schüler. In den informationstechnischen Grundkursen erstellen alle 300 Schüler der 9. und 10. Klasse der Schule ein Facebook Profil. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil der Schüler mit Facebookprofil dadurch auf mindestens 85% gestiegen ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist:

alter Erwartungswert E= 1400 * 0,8 = 1120 Schüler

neuer Erwartungswert: E=1120 +0,2*300 = 1180 Schüler

Daraus ergibt sich ein neues p= 1180 / 1400 = 0,8429 < 0,85

Ist das so richtig oder muss man einen anderen Ansatz wählen?

Comments

Du suchst die Wahrscheinlichkeit, dass 85 % von 1400 = 1190 Schüler, oder mehr, ein Profil haben.

Von den 1400 haben 300 das Profil sicher und die verbleibenden 1100 mit einer Wahrscheinlichkeit von je 80 %. Gesucht wird die Wahrscheinlicheit, dass von den 1100 Schülern mindestens 1190 - 300 = 890 ein Profil haben.

\(\displaystyle \sum \limits_{k=890}^{1100}\binom{1100}{k}\left(\frac{80}{100}\right)^{k}\left(1-\frac{80}{100}\right)^{1100-k}\approx 23,8\;\% \)

---

Ich denke, die Aufgabe ist anders gemeint. Tip: Binomialverteilung (bzw. Näherung mit Normalverteilung).

Vielleicht hilft es beim Verständnis sich zu überlegen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass es mehr 85% in der Ausgangssituation sind (ohne die spezielle Situation der 300).

Answer 1

Die Aufgabe kann ohne Zusatzangaben nicht gelöst werden. Es fehlt jegliche Angabe darüber, ob der bisherige 80%-Anteil des Schule gleichzeitig auch der Anteil in jeder einzelnen Klassenstufe ist oder ob einzelne Klassenstufen unter- oder überrepäsentiert sind.

Wenn alle Schüler der Klassen 9 und 10 vorher schon ein Facebookprofil hatten bleibt es auch danach bei 80%

Wenn in allen anderen Klassen alle ein Profil hätten und insgesamt nur 20 Schüler der 9/10 ebenfalls (dann wären das 80% aller Schüler), so wäre die Quote hinterher 100%, weil dann auch die restlichen 280 Personen eins hätten.

Comments

oder ob einzelne Klassenstufen unter- oder überrepäsentiert sind.

Unerheblich, da man mit der allgemeinen Statistik von 80 % ja genau ermitteln kann, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass genügend Schüler bereits ein Profil besitzen. Man kann wohl davon ausgehen, dass die Umfrage bspw. bundesweit durchgeführt wurde und nicht nur an dieser Schule, die 80 % also als Erfolgswahrscheinlichkeit herangezogen werden kann, unabhängig davon, wie die Verteilung aktuell an jener Schule ist.

Wenn alle Schüler der Klassen 9 und 10 vorher schon ein Facebookprofil hatten bleibt es auch danach bei 80%

Wenn die Schüler in den IT-Kursen zunächst ein Profil erstellen, kann man wohl davon ausgehen, dass sie vorher keines besitzen (warum auch immer). Und auch wenn die Schüler aus den IT-Kursen bereits ein Profil besitzen, so weiß man, dass mindestens diese 300 Schüler am Ende alle ein Profil haben.

---

Das waren doch nur die Extremfälle.

Ich bestreite jedenfalls eine angenommene stochastische Unabhängigkeit von Klassenstufe und Facebooknutzung.

Der FB-Anteil wird in Klasse 10 sicher höher sein als in Klasse 5.

Und wenn ein Aufgabensteller praxisfremde Zusatzannahmen triff, dann muss er das auch in der Aufgabenstellung konkret vermerken.

---

Es kommt noch schlimmer. Wenn eine PP (Binomialverteilung) das Gefühl hat, eine andere PP würde in einem "informationstechnischen Grundkurs" (10. Klasse!) ausgerechnet ein Facebook-Profil erstellen lassen, anstatt etwas über Informationstechnik zu vermitteln, dann muss Pisa so schief laufen wie der Turm.

PP = pädagogisierende Person

Answer 2

Ich würde es so rechnen:

1400 * 0.85 = 1190 Schüler müssen ein Profil haben um 85% zu erreichen.

1190 - 300 = 890 Schüler fehlen dafür noch.

1400 - 300 = 1100 Schüler checken wir.

n = 1100
p = 0.8

P(X ≥ 890) = 1 - P(X ≤ 889) ≈ 1 - 0.7619 = 0.2381 = 23.81%

Comments

Mit Zeile 1 stimme ich überein.

Macht die folgende Rechnung dann nicht mehr Sinn:

n=1400, p=0,85, k=1120+60=1180; (60 =0,2* 300)

P(X>=1180)= 1- F(1400;0,85;1179) =0,7850 = 78,5%

---

Daran ergibt gar nichts Sinn. Wieso willst du mit 85 % Trefferwahrscheinlichkeit rechnen, wenn laut Aufgabe nur 80 % ein Profil besitzen? Und wieso untersuchst du 1400 Schüler, wenn du bereits weißt, dass 300 dieser Schüler sich auf jeden Fall ein Profil anlegen werden? Du musst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die benötigte Anzahl der Schüler für einen Anteil von 85 % überschritten wird. Und da du mit Sicherheit sagen kannst, dass 300 Schüler ein Profil haben werden, brauchst du nur noch die Differenz von 890 erreichen bei einer Trefferquote von 80 %.