Quadrieren bei Potenzen?

Question

Hallo.
Ich bin ein bisschen verwirrt.

Ich habe für eine Gleichung das hier raus:

1/4r^0,5 = 1/8s^0,5

was man ja auch so schreiben kann:

1/4*wurzel aus r = 1/8*wurzel aus s


warum ist beim nächsten Schritt 16r=64s

wieso wird quadriert bei ^0,5 bzw. wurzel aus der jeweiligen Variable?

Answer 1

1/4*wurzel aus r = 1/8*wurzel aus s
warum ist beim nächsten Schritt 16r=64s

Nun, weil derjenige, der das behauptet, offenbar einen Fehler gemacht hat.

Tatsächlich gilt:

64 r = 16 s

bzw., wenn man diese Gleichung durch 16 dividiert:

<=> 4 r = s

 

Hier ein möglicher Rechenweg:

$$\frac { 1 }{ 4 } \sqrt { r } =\frac { 1 }{ 8 } \sqrt { s }$$Schreibe die Ausdrücke als Brüche:$$\Leftrightarrow \frac { \sqrt { r } }{ 4 } =\frac { \sqrt { s } }{ 8 }$$Erweitere den ersten Bruch mit 2:$$\Leftrightarrow \frac { 2\sqrt { r } }{ 2*4 } =\frac { \sqrt { s } }{ 8 }$$Nenner ausmultiplizieren:$$\Leftrightarrow \frac { 2\sqrt { r } }{ 8 } =\frac { \sqrt { s } }{ 8 }$$Da nun beide Nenner gleich sind, müssen auch beide Zähler gleich sein:$$\Leftrightarrow 2\sqrt { r } =\sqrt { s }$$Beide Seiten quadrieren (dadurch "verschwinden" die Wurzeln):$$\Leftrightarrow 4r=s$$

 

Alternativ, um das Quadrieren zu vermeiden:$$\Leftrightarrow 2\sqrt { r } =\sqrt { s }$$Beide Seiten mit 2 * √r multiplizieren:$$\Leftrightarrow 2\sqrt { r } *2\sqrt { r } =2\sqrt { r } *\sqrt { s }$$Da aufgrund der vorherigen Gleichung gilt 2 √ r = √ s, kann man auf der rechten Seite 2 √ r durch √ s ersetzen:$$\Leftrightarrow 2\sqrt { r } *2\sqrt { r } =\sqrt { s } *\sqrt { s }$$Die :Konstanten auf der linken Seite zusammenfassen$$\Leftrightarrow 4\sqrt { r } *\sqrt { r } =\sqrt { s } *\sqrt { s }$$Es gilt allgemein: √ a * √ a = a, also:$$\Leftrightarrow 4r=s$$

Answer 2

Ich probiere das mal Kleinschrittig zu machen:

1/4·r^0.5 = 1/8·s^0.5

1/4·√r = 1/8·√s

2·√r = √s

(2·√r)^2 = √s^2

2^2·√r^2 = √s^2

4·r = s

Comments

Ich kapiere ab der 3. Zeile gar nichts. :/

---

Wie bringst du die 8 denn rüber das ist doch multiplikativ mit der Wurzel aus s verbunden?

und warum ziehe ich nicht einfach die wurzel sondern quadriere???

---

Ehrlich gesagt kann man bei deiner Aufgabe nur raten  "warum ist beim nächsten Schritt 16r=64s".

Hängt irgendwie mit 4²=16 und 8²=64 zusammen. Aber dazu hab ich keine Lust. Wie lautet die komplette Aufgabenstellung.

 

PS. Mathechoach`s Umstellung ist vollkommen richtig.

---

1/4·√r = 1/8·√s

Hier darf man beide Seiten mit 8 Multiplizieren

8 * 1/4·√r = 8 * 1/8·√s

2·√r = √s

Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrates

Also 

5² = 25 und √25 = 5

Daher ist √x * √x = x. Z.B. eben √25 * √25 = 25

Wir quadrieren daher beide Seiten

(2·√r)² = (√s)²

2·2·√r·√r = √s·√s

4·r = s

Schau dir bitte auch das Grundlagenvideo zu Wurzeln an