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Hallo, habe hier eine Gruppentabelle, die ich vervollständigen soll, leider weis ich nicht so richtig wie ich das machen soll:

°rstxyz
gruppentabelle
 r z   s
sy z r 
t y t  
x  t y 
y t y x
zt   x 

 welches Element ist das neutrale Element?

ist diese Gruppe abelsch?

 

Kann mir bitte dringend einer helfen? Am besten mit erklährung wie man das macht. DANKE!!!

Gefragt von
Der Tabelle entnimmt man x°y = y. Daher muss  x  das neutrale Element sein.
Weiter gilt laut Tabelle  r°s = z  und s°r = y. Daher ist die Gruppe nicht abelsch.
Vielen Dank ! Aber kannst du mir auch sagen wie ich die Tabelle vervollständige? Gibt es da eine bestimmte Formel oder Vorgehensweise?

1 Antwort

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Hallo,

eine Formel gibt es dafür meines Wissens nicht. Vermutlich sollst du (dem Sudoku ähnlich) die gegebenen Informationen unter Anwendung der Gruppenaxiome so kombinieren, dass die fehlenden Felder nach und nach ausgefüllt werden.

(1)  Da  x  das neutrale Element ist gilt  r°x = r, s°x = s, x°x = x, z°x = z, x°r = r, x°s = s, x°z = z.
(2)  Aus  r°s = z  und  r°z = s  folgt  r°(r°z) = z ⇒ r°r = x.
(3)  Aus  s°r = y  und  s°y = r  folgt  s°(s°y) = y ⇒ s°s = x.
Da in jeder Zeile und Spalte jedes Gruppenelement genau einmal enthalten sein muss folgt nacheinander
(4)  z°s = r.
(5)  s°z = t.
(6)  r°t = y.
(7)  r°y = t.
(8)  t°z = r.
(9)  z°z = y.
(10) z°t = s.
(11) t°t = x.
(12) y°t = r.
(13) Aus  z°z = y  und  z°y = x  folgt  (z°y)°y = x°(z°z) ⇒ y°y = z.
(14) t°y = s.
(15) t°r = z.
(16) y°r = s.
Damit ist die Verknüpfungstafel komplett.
Beantwortet von

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