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Sei f: R-->R definiert durch f(x)= exp (x3 - 2x2 - 3x).

Für welche x aus R besitzt der Graph von f in (x, f(x)) eine waagerechte Tangente?

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f ( x ) = exp ( x 3 - 2 x 2 - 3 x )

Eine waagerechte Tangente liegt dort vor, wo die Ableitung von f ( x ) den Wert 0 hat, also:

f ' ( x ) = ( 3 x 2 - 4 x - 3 ) * exp ( x 3 - 2 x 2 - 3 x ) = 0

Da die Funktion exp ( x ) für kein x den Wert 0 annimmt, kann diese Gleichung nur erfüllt sein, wen gilt:

<=> ( 3 x 2 - 4 x - 3 ) = 0

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung kann man z.B. mit der Mitternachtsformel bestimmen. Es ergibt sich:

x1,2 = ( 1 / 3 ) * ( 2  ± √ 13 )

<=>

x1 ≈ 1,869
x2 ≈ - 0,535

Hier der Graph von f ( x ):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=exp+%28+x^3+-+2+x^2+-+3+x+%29from+-1+to3

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Was ist denn die Mitternachtsformel?

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f ( x ) = e^(x3 -2x2-3x)
Allgemein: [ e^Term ] ´ = e^Term * Term ´
f ´ ( x ) = e^(x3 -2x2-3x) * ( 3*x^2 - 4*x - 3 )
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
Die e-Funktion wird nie 0, also
3*x^2 - 4*x - 3  = 0  | mit quadratischer Ergänzung oder pq-Formel lösen

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Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg
 

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