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Berechnen Sie die folgende Integrale durch Partiabruchzerlegung:

 

 

hahahaha

Gefragt von

Ein Beispiel f√ľr eine komplexere Partialbruchzerlegung:

https://www.mathelounge.de/9865/umfangreiche-partialbruchzerlegung-mantelflache-rotationskorpers

Bei a) und b) kannst du mit einer Polynomdivision beginnen. Dannach Partialbruchzerlegung nur f√ľr den Rest.

Meine Resultate:

a)

f(x) = 1 + 6/(x-2) - 5/(x-1) + 1

F(x) = x^2/2 + x - 5ln(1-x) + 6 ln(2-x) + C

b)

f(x) = x^2 + 0.5 *1/(x-1) - 0.5 *1/(x+1)

F(x) = 1/3*x^3 + 0.5*ln(1-x) - 0.5* ln(x+1)

 

2 Antworten

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Eine Erklärung wie das geht habe ich z.B. gegeben unter

https://www.mathelounge.de/11405/berechnung-des-ihntegrals-%E2%88%AB-2t-1-3-t-2t-1-dt

Schau mal ob du das nachvollziehen kannst, und wo du genau Schwierigkeiten hast.

Hat das Zählerpolynom mind. den Grad vom Nennerpolynom macht man zunächst eine Polynomdivision. Anschließend eine Partialbruchzerlegung mit dem Restpolynom

f(x) = (x^3 - 2·x^2 + 6)/(x^2 - 3·x + 2) = 6/(x - 2) - 5/(x - 1) + x + 1

F(x) = 6·ln(x - 2) - 5·ln(x - 1) + 1/2·x^2 + x + c

 

g(x) = (x^5 - x^3 + x)/(x^3 - x) = 1/(2·(x - 1)) - 1/(2·(x + 1)) + x^2

G(x) = 1/2·ln(x - 1) - 1/2·ln(x + 1) + 1/3·x^3 + c

 

Wenn Du sagst wo du genau Schwierigkeiten hast, dann mache ich den Schritt etwas ausf√ľhrlicher vor.
Beantwortet von 264 k
W√§re super alles schritt f√ľr schritt zu sehen. Das Thema ist mir noch neu und hab da generell so meine schwierigkeiten damit!
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  Zunächst eine sensationelle Mitteilung, wie man bei Aufg. 1 die Nullstellen des Nennerpolynoms ermittelt; schau mal, was Pappi alles weiß.


http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen


     Gauß wird dieser Satz zugeschrieben? Man darf verwundert sein (  WARUM ist Wurzel 2 irrational; warum bloß hat sich dieser Beweis in den letzten 200 Jahren nicht durchgesetzt? )

   Gauß ist Kult;  warum nur hat kein Lehrer je von dem Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )  vernommen? Auf dem Konkurrenzportal Cosmiq gibt es Studienräte; keiner hat je meine Kommentare betreffend den SRN beantwortet, geschweige einen Hinweis auf Gauß gegeben.

¬†¬†¬† H√∂chlich verwundert sei sein Assistent gewesen, lie√ü uns ein Student in Cosmiq wissen. Lediglich die " Ganzzahligkeitsaussage √ľber normierte Polynome " gebe es da, lie√ü sich mein Gew√§hrsmann vernehmen; im allgemeinen Fall sei eine entsprechende Aussage noch nicht entdeckt - nichts als Ger√ľchte ...

     Sei g ( x )  ein quadratisches Poynom in primitiver Darstellung


¬†¬†¬†¬†¬† g¬† (¬† x¬† )¬† ‚ā¨¬† |Z¬† [¬† x¬† ]¬† :=¬† a2¬† x¬† ¬≤¬† +¬† a1¬† x¬† +¬† a0¬†¬†¬†¬† (¬† 1a¬† )


      In unserem Falle ist


              a0  =  2  ;  a2  =  1    (  1b  ) 


                 Dann besteht doch ganz typisch die Alternative: Entweder ( 1a ) ist prim, das Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es zerfällt in die beiden rationalen Linearfaktoren  (  RLF  )


¬†¬†¬†¬†¬† x1;2¬† :=¬† p1;2¬† /¬† q1;2¬† ‚ā¨¬† |Q ¬† ¬† ¬† (¬† 2a¬† )


     Meine größte Trumpfkarte; unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde, entdeckte ich die beiden pq-Formeln


         p1  p2  =  a0  =  2          (  2b  )

        q1  q2  =  a2  =  1             (  2c  )


¬†¬†¬†¬†¬†¬† Gau√ü ist doch ein Genie; und ihm, dem Entdecker des SRN , sollte die Bedeutung von ( 2bc )¬† verborgen geblieben sein? V√∂llig abwegig. Und die letzten 200 Jahre sollten die ganzen Algebrafreaks im Dornr√∂schenschlaf im Kyffh√§user verbracht haben und absolut keiner darauf gesto√üen sein? Merkw√ľrdig. Genau das; der Wikibeitrag liest sich so verd√§chtig einsilbig.¬† Ganz wie bei den gef√§lschten Rembrandts und Rubens dr√§ngt sich hier der Verdacht auf, dass Gau√ü technische Hilfsmittel zugeschrieben werden, die ihm und seinen Zeitgenossen einfach nicht zur Verf√ľgung standen.

¬†¬† Warum Gau√ü einfach kein Interesse an RLF hatte. Bekannt ist ja seine makabere testamentarische Verf√ľgung, der Sinus des 17-Ecks sei in seinen Grabstein einzumei√üeln. Was begeisterte ihn so sehr an der Kreisteilungsgleichung? Nun ich vermute, insgeheim zielte er auf die Quadratur des Kreises; dann h√§tte er sein Testament eben ge√§ndert, in besagten Grabstein sei Pi als Quadratwurzel einzumei√üeln ...

¬†¬†¬† Bei uns im Institut gab es das auch; Samisdat.¬† Ein Heft mit den Stilbl√ľten des Institutsdirektors ===> Walter Greiner

¬†¬† " Frau K; in 400 Jahren bin ich zwar eben so tot wie Sie. Aber im Gegensatz zu Ihnen bin ich dann eine Weltber√ľhmtheit ... "

¬†¬† In dem Fall¬†¬† (¬† 1b¬† )¬†¬† bleibt f√ľr die Primzahl 2 wohl nicht mehr viel Auswahl.¬† Lediglich bei dem Vorzeichen m√ľssen wir Acht passen, weil ja Minus Mal Minus auch Plus ergibt. Dieser Zwiespalt wird durch die cartesische Vorzeichenregel¬† ( CV )¬† entschieden - zwei Mal Plus


         0  <   x1  <  =  x2    (  3  )


¬†¬†¬†¬† Sind¬† ( 2bc¬† )¬† schon hinreichend? Nein; denn woher sollen wir wissen,¬†¬† dass¬† Ansatz¬† ( 2a )¬† erf√ľllt ist? Hinreichende Bedingung ist immer der Vieta von¬†¬† (¬† 4a¬† )


      x  ²  -  p  x  +  q  =  0    (  4a )

      p  =  x1  +  x2    ( 4b )


¬†¬†¬†¬† Jetzt¬† wurde schon darauf verwiesen, dass wir hier Polynomdivision¬† ( PD ) durchf√ľhren m√ľssen.


      (  x  ³  -  2  x  ²  +  6  )  /  (  x  ²  -  3  x  +  2  )  =    (  5a  )

     =  x  +  1   +    (  5b  )

     +  (  x  +  4  )  /  (  x  ²  -  3  x  +  2  )  =    (  5c  )


     Die TZ  folgt dem Ansatz


    (  x  +  4  )  /  (  x  ²  -  3  x  +  2  )  =   A  /  (  x  -  1  )  +  B  /  (  x  -  2  )        (  6  )


¬†¬†¬†¬† Meine Neuigkeiten nehmen einfach kein Ende. Nach dem SRN ist jetzt die Rothstein-Trager-Integration dran; je mehr Polstellen, desto sp√ľrbarer die Erleichterung. Hier der Link:


Beantwortet von 1,3 k

Mit jeder TZ-Aufgabe kehrt das ja wieder. Im Falle ( 1.6 ) lauten die beiden Integralkerne

             G  (  x  ;  1  )  =  (  x  +  4  )  /   (  x  -  2  )                             (  2.1a  )

    A  =  G  (  1  ;  1  )  =  (  1  +  4  )  /   (  1  -  2  )  =  (  -  5  )           (  2.1b  )

             G  (  x  ;  2  )  =  (  x  +  4  )  /   (  x  -  1  )                             (  2.1c  )

    B  =  G  (  2  ;  2  )  =      6                   (  2.1d  )

    f  (  x  )  =  x  +  1  -  5  /  (  x  -  1  )  +  6  /  (  x  -  2  )               (  2.2  )


http://www.wolframalpha.com/input/?i=x++%2B++1++-++5++%2F++%28++x++-++1++%29++%2B++6++%2F++%28++x++-++2++%29+


     Diese Residuen er√∂ffnen uns eine v√∂llig neue Perspektive, die du von dem LGS aus nie bekommst. Jetzt denk mal von dem CIS aus. Die ganz rationale Komponente ( 1.5b ) leistet ja zu dem Residuum √ľberhaupt keinen Beitrag. Dann k√∂nntest du doch her gehen und das Z√§hlerpolynom in ( 2.1ac )  durch das Z√§hlerpolynom in ( 1.5a ) ersetzen.



                G  (  x  ;  1  )  =  (  x  ¬≥  -  2  x  ¬≤  +  6  )  /   (  x  -  2  )                             (  2.3a  )  

                G  (  x  ;  2  )  =  (  x  ¬≥  -  2  x  ¬≤  +  6  )  /   (  x  -  1  )                             (  2.3b  )  


     Machen wir die Peobe; wir bilden die Differenz  ( 2.3a )  Minus ( 2.1a )


    h  (  x  )  =  x  ¬≥  -  2  x  ¬≤  -  x  +  2     (  2.4a  )


    Dann muss aber ( 2.4a ) die beiden Pole als Wurzeln haben x1 = 1  und x2 = 2  -  machen  wir die Probe:


   h  (  x  )  =  x  ¬≤  (  x  -  2  )  -  (  x  -  2  )  =      (  2.4b  )

                =  (  x  -  2  ) (  x  ¬≤  -  1  )  =  (  x  -  2  ) (  x  +  1  )  (  x  -  1  )      (  2.4c  )


    Jetzt die zweite Aufgabe;  die wesentliche Vereinfachung ist hier, dass wir nicht nur  PD  haben, sondern sogar  PDLF -  eben Falls eine vollkommen anonyme Entdeckung aus dem Internet; nur dass sich hier keiner hin stellt und es Gau√ü zuschreibt. Ein Kommentar bei Cosmiq macht unumst√∂√ülich deutlich, dass eure Lehrer keine Ahnung haben - aber auch, wie die Sch√ľler √ľber ihre Lehrer bzw. ihre eigenen Kameraden denken:

   " W√§hrend sich der Schrat da vorne an der Tafel eine geschlagene Viertelstunde mit der PD abqu√§lt, habe ICH das Ergebnis nach einer Minute l√§ngst im Kopf. "

Die PDLF kannst du nur erreichen, wenn du diese

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