Zerfallsprozess und Anwendungen

Question

Hallo ich brauche bitte Hilfe bei der Aufgabe hier
 

1. Zerfallsprozess

Ein Medikent baut sich im Körper des Menschen nach dem Gesetz f(t) = 50 x 0,5^t ab. Dabei ist die f(t) die Masse Wirkstoffes in mg.

a) Welche Bedeutung haben Zahlenwert die Zahlenwerte 50 und 0,8 in der Funktionsgleichung?

b) Welche Prozentsatz des Wirkstoffes wird pro Stunde abgebaut?

c) Wann ist der Wirkstoff unter die Minimaldosis von 10mg gefallen?

 

2. Anwendungen

 

Der Luftdruck nimmt mit steigender Höhe über dem Meeresspiegel exponentiell ab um etwa 12% pro km. In Meereshöhe herrscht ein Luftdruck von ca. 1013 mbar.

a) Geben sie eine Funktion an, die die Druckabnahme modelliert. Zeichnen sie den Graphen.

b) Berechnen sie den Luftdruck auf der Zugspitze (3000m) und dem Mount Everest (8900m)

c) Wie viele Meter muss man steigen, bis sich der Luftdruck halbiert hat?

d) Der Mensch kann einen Luftdruck bis hinunter zu 400mbar aushalten. Bis zu welcher Höhe kann ein Mensch ohne Atemmaske aufsteigen?

Answer 1

a) Welche Bedeutung haben Zahlenwert die Zahlenwerte 50 und 0,8 in der Funktionsgleichung?

0,8  taucht in der genannten Funktionsgleichung gar nicht auf. Dort steht statt dessen 0,5. Ich nehme daher an, dass dort statt dessen 0,8 stehen soll, dass also die Zerfallsfunktion 

f ( x ) = 50 * 0,8 ^t

ist.

Weiterhin nehme ich an, dass t in Stunden gemessen wird.

 

1a)

Nun, 50 ist der Anfangsbestand des Medikaments zum Zeitpunkt t = 0

0,8 = 1 - r , dabei ist r = 0,2 die Zerfallsrate, die angibt, wieviel Prozent der Substanz innerhalb einer Zeitperiode (hier: Stunde) zerfällt (hier also 0,2 = 20 % ).

Somit gibt 0,8 an, wieviel Prozent der Substanz nach einer Zeitperiode noch vorhanden ist., hier also 0,8 = 80 % 

1b)

Dies wurde bereits in 1a) genannt: Pro Stunde werden 1 - 0,8 = 0,2 = 20 % des Wirkstoffes abgebaut.

1c)

Zu bestimmen ist die Anzahl t der Zerfallsperioden (hier: Stunden), nach der gilt: 

50 * 0,8 ^t < 10

Auflösen nach t:

<=> 0,8 ^t < 10 / 50 = 0,2

<=> ln ( 0,8 ^t ) < ln ( 0,2 )

<=> t * ln ( 0,8 ) < ln ( 0,2 )

<=> t = ln ( 0,2 ) / ln ( 0,8 ) ≈ 7,21 h

Also: Nach etwa 7,21 Stunden ist die Masse des Wirkstoffes unter 10 mg gefallen.

 

2a)

Anfangsbestand: 1013 mbar

Zerfalls- bzw. Abnahmerate r = 12 % = 0,12

h:  Höhe über dem Meeresspiegel in km.

Also:

f ( h ) = 1013 * ( 1 - r ) ^h

= 1013 * ( 1 - 0,12 ) ^h

= 1013 * 0,88 ^h

Graph: https://www.wolframalpha.com/input/?i=1013*0.88^h+from0to10

2b)

f ( 3 ) = 1013 * 0,88 ³ ≈ 690.33 mbar

f ( 8,9 ) = 1013 * 0,88 ^8,9 ≈ 324.72... mbar

2c)

f ( x ) = 0.5 * f ( 0 )

<=> 1013 * 0,88 ^x = 0,5 * 1013

<=> 0,88 ^x = 0,5

<=> ln ( 0,88 ^x ) = ln ( 0,5 ) 

<=> x * ln ( 0,88 ) = ln ( 0,5 )

<=> x = ln ( 0,5 ) / ln ( 0,8 ) ≈ 3,106 km = 3106 m

2d)

f ( x ) = 400

<=> 1013 * 0,88 ^x = 400

<=> 0,88 ^x  = 400 / 1013

<=> ln ( 0,88 ^x )  = ln ( 400 / 1013 ) 

<=> x * ln ( 0,88 ) = ln ( 400 / 1013 )

<=> x = ln ( 400 / 1013 ) / ln ( 0,88 ) ≈ 7,269 km = 7269 m

Comments

Herztlchen Dank das war mir eine gute Hilfe :)

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In der Aufgabe 2c ist ein Rechenfehler

Das richtige Ergebnis ist 5400m

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Wie kommt man bei der 2c) beim letzten Schritt auf das Ergebnis, bzw. wie kann man die letzte Rechnung in den Taschenrechner eingeben?

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Du kannst das eingeben mit log(0,5) : log(0,88)