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Hallo, ich soll eine Stammfunktion von 1/(x^{4}-81) finden. Nach Wolframalpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+%281%2F%28x^4-81%29 , aber wie komm ich dadrauf?
Gefragt von 2,5 k
Man macht hier am besten eine Partialbruchzerlegung.

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f(x) = 1/(x^4-81) = (x^{4}-81)^-1

Das müssen wir mit der Kettenregel ableiten

f '(x) = -1*(x^4-81)^-2 * 4x^3 = -4x^3 / (x^4-81)^2

 

Eine weitere Möglichkeit wäre das Ableiten mit Hilfe der Quotientenregel

f(x) = 1/(x^4-81)

f '(x) = (0*(x^4-81) - 1*4x^3) / (x^4-81)^2 = -4x^3 / (x^4-81)^2

 

Man sieht das es egal ist welche Regel man anwendet und man auf das gleiche Ergebnis kommt.
Beantwortet von 264 k
Sorry, aber ich soll eine Stammfunktion finden, und nicht die Ableitung. Trotzdem danke für deine Mühe :)

Sorry. Irgendwie hab ich vorhin wohl gepennt beim Lesen. Also bei Brüchen sollte man zunächst eine Partialbruchzerlegung machen. Dazu zerlegt man den Nenner in die Nullstellen:

x^4 - 81 = (x^2 + 9)*(x^2 - 9) = (x^2 + 9)*(x + 3)*(x - 3)

Daher ist mein Ansatz

f(x) = 1/(x^4-81) = a/(x + 3) + b/(x - 3) + (cx + d)/(x^2 + 9)
= (a(x - 3)(x^2 + 9) + b(x + 3)(x^2 + 9)+ (cx + d)(x + 3)(x - 3)) / ((x + 3)(x - 3)(x^2 + 9))
= ((a·x^3 - 3·a·x^2 + 9·a·x - 27·a) + (b·x^3 + 3·b·x^2 + 9·b·x + 27·b) + (c·x^3 + d·x^2 - 9·c·x - 9·d)) / (x^4 - 81)
= (x^3·(a + b + c) - x^2·(3·a - 3·b - d) + x·(9·a + 9·b - 9·c) - 27·a + 27·b - 9·d) / (x^4 - 81)

a + b + c = 0
3·a - 3·b - d = 0
9·a + 9·b - 9·c = 0
- 27·a + 27·b - 9·d = 1

Lösung des LGS mit dem Additionsverfahren ergibt:

a = - 1/108 ∧ b = 1/108 ∧ c = 0 ∧ d = - 1/18

Daher ist die Partialbruchzerlegung

1/(x^4-81) = - 1/108/(x + 3) + 1/108/(x - 3) - 1/18/(x^2 + 9)

Davon ist es jetzt ein

Von den ersten beiden Summanden ist die Stammfunktion recht einfach zu ermitteln.

∫ - 1/108/(x + 3) dx = - ln(x + 3)/108
∫ 1/108/(x - 3) dx = ln(x - 3)/108

Bleibt also die Stammfunktion von 1/18/(x^2 + 9). 

∫ - 1/18/(x^2 + 9) dx = - 1/162 * ∫ 1/(x^2/9 + 1) dx

Substitution u = x/3 und du = 1/3 dx

- 1/162 * ∫ 1/(x^2/9 + 1) dx = - 1/54 * ∫ 1/(u^2 + 1) du = - 1/54 * arctan(u) = - 1/54 * arctan(x/3)

Also lautet unsere Stammfunktion nach ein wenig Arbeit:

F(x) = ln(x - 3)/108 - ln(x + 3)/108 - 1/54 * arctan(x/3) + c

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Hallo, es gilt

1/(x4 - 81) = (1/18)·[1/(x2 - 9) - 1/(x2 + 9)].

Finde Stammfunktionen der beiden Summanden.

Beantwortet von
voll verständlich danke schön!!!

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