Hi,
schauen wir uns zuerst die Unstetigkeitsstellen an. f(x) ist an den Stellen \( x=\frac{1}{n} \) unstetig. Nehme eine Folge \( a_k \) die von rechts gegen \( \frac{1}{n} \) konvergiert. Dann gibt es ein \( k_0 \in \mathbb N \) s.d. gilt \( \frac{1}{n} \lt a_k \lt \frac{1}{n-1} \) für alle \( k \gt k_0 \), also gilt \( n-1 \lt \frac{1}{a_k} \lt n \) Damit ist \( \lfloor \frac{1}{a_k} \rfloor = n-1 \) und \( \frac{1}{\lfloor \frac{1}{a_k} \rfloor}=\frac{1}{n-1} \)
Nehme nun eine Folge \( b_k \) die von links gegen \( \frac{1}{n} \) konvergiert, dann kommt mit den gleichen Argumenten wie oben aber raus, dass gilt \( \frac{1}{\lfloor \frac{1}{a_k} \rfloor}=\frac{1}{n} \) Damit ist die Funktion an den Stellen \( \frac{1}{n} \) unstetig, weil der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert nicht übereinstimmt.
Gesondert muss man den Fall x=0 betrachten, dort ist die Funktion stetig, weil für eine beliebige Folge die von rechts gegen 0 konverigert gilt \( |a_k|=a_k \lt \delta \) für jedes \( \delta \gt 0 \). Wähle jetzt \( \delta \) so das gilt \( \delta \lt \frac{1}{N} \lt \epsilon \) dann folgt, \( \frac{1}{a_k} \gt \frac{1}{\delta} \gt N \gt \frac{1}{\epsilon} \). Und daraus folgt \( \lfloor \frac{1}{a_k} \rfloor \gt N \gt \frac{1}{\epsilon} \) also \( \frac{1}{\lfloor \frac{1}{a_k} \rfloor} \lt \epsilon \). Also ist die Funktion an der Stelle 0 stetig.
Da die Funktion \( \lfloor x \rfloor \) an allen Stellen aus bei \( n\in \mathbb N \) stetig ist, ist die Zusammensetzung stetiger Funktionen auch an diesen Stellen stetig.
Damit sind alle Fragen geklärt.
