Stochastik: Der Fürst der Toskana fragte Galileo Galilei um Rat.

Question

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Der Fürst der Toskana war ein begeisterter Würfelspieler. Ihm fiel auf, dass beim Würfeln mit drei Würfeln die Augensumme 10 wahrscheinlicher ist als die Augensumme9, obwohl beide Summen auf sechs Arten auftreten können. Der Fürst fragte Galilei um Rat. Was könnte Galilei ihm geantwortet haben?

Answer 1

Betrachtet man nur die (auf- oder absteigend) geordneten Augenzahlen der drei Würfel, dann erhält man für die Augensumme 9 die möglichen Ergebnisse (aufsteigend geordnet):

1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3

und für die Augenzahl 10 (aufsteigend geordnet):

1 3 6
1 4 5
2 2 6
2 3 5
2 4 4
3 3 4

Also tatsächlich jeweils 6 Tupel.

Allerdings, und das ist der entscheidende Denkfehler: Diese Tupel treten nicht alle mit derselben Wahrscheinlichkeit auf!

So kann etwa das Ergebnis 1 2 6  auf 6 verschiedene Arten auftreten, nämlich als:

1 2 6
1 6 2
2 1 6
2 6 1
6 1 2
6 2 1

während etwa das Ergebnis 1 4 4 nur auf 3 verschiedene Arten auftreten kann, nämlich als:

1 4 4
4 1 4
4 4 1

Um also die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, muss man auch sämtliche Umordnungen der geordneten Ergebnisse betrachten und diese auf die Gesamtzahl aller Ergebnisse beziehen, also auf 6 ³ = 216

Damit erhält man für die Augensumme 9:

1 2 6 (6 Umordnungen)
1 3 5 (6 Umordnungen)
1 4 4 (3 Umordnungen)
2 2 5 (3 Umordnungen)
2 3 4 (6 Umordnungen)
3 3 3 (1 Umordnung)

also insgesamt 25 mögliche Ergebnisse

und für die Augensumme 10:

1 3 6 (6 Umordnungen)
1 4 5 (6 Umordnungen)
2 2 6 (3 Umordnungen)
2 3 5 (6 Umordnungen)
2 4 4 (3 Umordnungen)
3 3 4 (3 Umordnungen)

also insgesamt 27 mögliche Ergebnisse.

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 9:

P₉ = 25 / 216 ≈ 0,1157 = 11,57 %

und für die Augensumme 10:

P₁₀ = 27 / 216 = 0,125 = 12,5 %

 

Ob allerdings Galilei das schon wusste (immerhin lebte er etwa 200 Jahre vor Laplace) kann ich nicht sagen.

Answer 2

 

Galilei könnte geantwortet haben, dass es zwar sechs Arten gibt, wie eine Augensumme von 9 bzw. von 10 erreicht werden kann, dass aber auch die Anzahl der Permutationen berücksichtigt werden muss.

 

Dadurch gibt es für das Erreichen einer 9 nicht nur sechs Arten, sondern insgesamt 25:

126 | 162 | 216 | 261 | 612 | 621

135 | 153 | 315 | 351 | 513 | 531 

144 | 414 | 441

225 | 252 | 522

234 | 243 | 324 | 342 | 423 | 432

333

Jede dieser Kombinationen hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216

Die Wahrscheinlichkeit, eine 9 zu erreichen, beträgt also 25 * 1/216 = 25/216

 

Wieviele Möglichkeiten gibt es dann für das Erreichen einer 10?

136 | 163 | 316 | 361 | 613 | 631

145 | 154 | 415 | 451 | 514 | 541

226 | 262 | 622

235 | 253 | 325 | 352 | 523 | 532

244 | 424 | 442 |

334 | 343 | 433

27 Kombinationen insgesamt, Wahrscheinlichkeit demnach 27/216

 

Besten Gruß

Comments

Kannst du mir erklären warum man dann nur 52/216 hat? Also da fehlt ja noch etwas zu 100%...

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Wenn man mit drei Würfeln würfelt (wir können sie durchnummerieren oder wegen meiner auch annehmen, dass sie weiß, gelb oder grün sind), gibt es für den 1. Würfel offensichtlich 6 mögliche Augenzahlen, nämlich

1, 2, 3, 4, 5 oder 6.

Für jedes dieser möglichen Ergebnisse kann auch der 2. Würfel 6 verschiedenen Augenzahlen zeigen, so dass wir auf insgesamt 6 * 6 = 36 mögliche Kombinationen kommen.

Und da auch der 3. Würfel 6 verschiedene Augenzahlen zeigen kann, kommen wir insgesamt auf

6 * 6 * 6 = 216 mögliche Kombinationen (Tripel).

Von diesen insgesamt 216 möglichen Kombinationen ergeben aber, wie in den Antworten von JotEs und mir gezeigt, nur 25 die Augensumme von 9 bzw. 27 die Augensumme von 10.

Die übrigen 216 - 25 - 27 = 164 Möglichkeiten ergeben eine Augensumme ungleich 9 oder 10.

Das ist das, was zu den insgesamt 100% fehlt :-)

Besten Gruß

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Achsoo Ja klar.