Klassenarbeit: Exponential- und Logarithmengleichungen, Nullstellen, Temperatur im Kühlschrank, Radionuklide zerfallen

Question

Klassenarbeit Mathematik:

Hilfsmittel: Taschenrechner, Zeichengerát

Aufgaben:

1. Löse folgende Exponential- und Logarithrmengleichungen:

a) \( e^{2 x}=5 \)

b) \( 3^{x-1}=4^{x} \)

c) \( 2=\log _{(x-1)} 65 \)

d) \( 6 \cdot 3^{x}=2^{x} \)

2. Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=4-\log _{5}(x+3) \)

a) Berechne die Nullstelle dieser Funktion.

b) Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion.

c) Berechne die Nullstelle dieser Umkehrfunktion.

3. Stelle die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( f(x)=\frac{\ln x}{2} \) im Intervall \( I=[0 \) bis 8] mit Hilfe einer Wertetabelle in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

4. Radionuklide zerfallen nach dem Gesetz \( N(t)=N_{0} \cdot e^{-\lambda \cdot t} \) mit \( \lambda=\frac{t n_{2}}{r_{1 / 2}} \).

a) Wie viel Prozent der Substanz Yttrium sind nach 7 Tagen noch vorhanden, wenn die Halbwertszeit \( T_{1 / 2}=64 \) Stunden beträgt?

b) Nach wie viel Stunden sind noch \( 30 \% \) der Substanz vorhanden?

5. In einer \( 19^{\circ} \mathrm{C} \) warmen Wohnung findet eine Party statt. Unter Annahme, dass sich die Temperatur einer Flussigkeit der Umgebungstemperatur nach einer gewissen Zeit anpasst, wird der Temperaturverlauf eines gekühlten Bieres durch die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( f(t)=19+T_{0} \cdot b^{t}(\mathrm{t}>0 \) in Minuten) beschrieben.

a) Ein aus dem Kühlschrank entnommenes Bier misst nach 7 Minuten ca. \( 12^{\circ} \mathrm{C} \) und nach 20 Minuten bereits \( 17^{\circ} \mathrm{C} \). Berechne die Funktionsgleichung von \( \mathrm{f} \).

b) Bestimme die Kühlschranktemperatur.

c) Welche Temperatur hat das Bier nach einer halben Stunde?

Answer 1

1a)

e ^{2 x}  = 5

<=> 2 x = ln ( 5 )

<=> x = ln ( 5 ) / 2 ≈ 0,8047

1b)

3 ^{x - 1} = 4 ^x

<=> ( 1 / 3 ) 3 ^x  = 4 ^x

<=> ( 1 / 3 ) = 4 ^x / 3 ^x = ( 4 / 3 ) ^x

<=> ln ( 1 / 3 ) = ln ( ( 4 / 3 ) ^x ) = x * ln ( 4 / 3 )

<=> x = ln ( 1 / 3 ) / ln ( 4 / 3 )

<=> x = ( ln ( 1 ) - ln ( 3 ) ) / ( ln ( 4 ) - ln ( 3 ) )

<=> x = - ln ( 3 ) / ( ln ( 4 ) - ln ( 3 ) )

x = - 1 / ( ( ln ( 4 ) / ln ( 3 ) ) - 1 ) ≈ - 3,81884

1c)

2 = log _{x - 3} ( 65 )

<=> ( x - 3 ) ² = 65

<=> x - 3 = ± √ 65

Da x - 3 nur positiv sein darf:

<=> x - 3  = √ 65

<=> x = √ ( 65 ) + 3

1d)

6 * 3 ^x = 2 ^x

<=> 6 = ( 2 / 3 ) ^x

<=> log ( 6 ) = x * log ( 2 / 3 )

<=> x = log ( 6 ) / log ( 2 / 3 ) ≈ -4,41902

 

2a)

4 - log ₅ ( x + 3 ) = 0

<=> log ₅ ( x + 3 ) = 4

<=> x + 3 = 5 ^ 4 = 625

<=>  x = 625 - 3 = 622

2b)

y = 4 - log ₅ ( x + 3 )

<=> log ₅ ( x + 3 ) = 4 - y

<=> x + 3 = 5 ^{4 - y}

<=> x = 5 ^{4 - y} - 3

Vertauschen der Variablen:

y = f ^{- 1} ( x ) = 5 ^{4 - x} - 3

2 c)

5 ^{4 - x} - 3 = 0

<=> 5 ^{4 - x}  = 3

<=> 4 - x = log ₅ ( 3 ) = ln ( 3 ) / ln ( 5 )

<=> x = 4 - ( ln ( 3 ) / ln ( 5 ) )

 

3) Schaffst du alleine, oder?

 

4a)

N ( 7 ) / N₀ = e ^{- λ * 7 * 24}

= e ^{- ( ln ( 2 ) / T_1/2 ) * 7 * 24}

= e ^{- ( ln ( 2 ) / 64 ) * 7 * 24}

≈ 0,1621

= 16,21 %

4b)

e ^{- ( ln ( 2 ) / 64 ) * t} = 0,3

<=> - ( ln ( 2 ) / 64 ) * t = ln ( 0,3 )

<=> t = ln ( 0,3 ) / - ( ln ( 2 ) / 64 )

<=> t ≈ 111,17 h

5a)

Aus den Angeben ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

f ( 7 ) = 19 + T₀ * b ⁷ = 12
f ( 20 ) = 19 + T₀ * b ²⁰ = 17

<=>

T₀ * b ⁷ = - 7
T₀ * b ²⁰ = - 2

<=>

T₀ = - 7 / b ⁷
- 7 / b ⁷ * b ²⁰  = - 2

<=>

T₀ = - 7 / b ⁷
b ¹³  =  2 / 7

<=>

T₀ = - 7 / b ⁷
b =  ( 2 / 7 ) ^{1 / 13}  ≈ 0,908131

<=>

T₀ = - 7 / b ⁷
b  ≈ 0,908131

<=>

T₀ = - 7 / 0,908131 ⁷
b  ≈ 0,908131

<=>

T₀ ≈ -13,742272
b  ≈ 0,908131

Somit lautet die Funktion f :

f ( t ) = 19 - 13,742272 * 0,908131 ^t

5b)

f ( 0 ) = 19 - 13,742272 * 0,908131 ⁰

= 19 - 13,742272

= 5,257728 ° C

5c)

f ( 30 ) = 19 - 13,742272 * 0,908131 ³⁰

≈ 18,24 ° C