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Hallo brauche  hilfe

Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante a, der Höhe h, der Seitenkante s und der Diagonale d der Grundfläche.

Gegeben ist a=7,6 cm und s=11cm.

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Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante a, der Höhe h, der Seitenkante s und der Diagonale d der Grundfläche.

Gegeben ist a=7,6 cm und s=11cm.

s^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 + h^2

h = √(s^2 - (a/2)^2 - (a/2)^2) = √(11^2 - (7.6/2)^2 - (7.6/2)^2) = 9.598 cm

V = 1/3·a^2·h = 1/3·7.6^2·9.598 = 184.8 cm^3

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Für das Volumen V  einer Pyramide gilt:

V = ( 1 / 3 ) * G * h 

wobei G der Inhalt der Grundfläche und h die Höhe der Pyramide ist.

Für G gilt:

G = a 2

so dass man also erhält:

V = ( 1 / 3 ) * a 2 * h

Die Höhe h muss aus der Länge s der Seitenkante berechnet werden. Da nur eine Seitenkante angegeben ist, kann man davon ausgehen, dass alle Seitenkanten gleich lang sein sollen und es sich daher um eine gerade Pyramide handeln soll, deren Spitze also lotrecht über dem Mittelpunkt des Grundflächenquadrates liegt. 

Unter dieser Annahme erhält man mit dem Satz des Pythagoras:

h 2 + ( ( 1 / 2 ) d ) 2 = s 2

wobei d die Länge der Diagonale des Grundflächenquadrates ist

<=> h 2 = s 2 - ( 1 / 4 ) d 2

<=> h = √ ( s 2 - ( 1 / 4 ) d 2 )

Für d 2 erhält man  wiederum mit dem Satz des Pythagoras:

d 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2

Einsetzen von d 2 in die violett gesetzte Formel ergibt:

h = √ ( s 2 - ( 1 / 4 ) 2 a 2  )

= √ ( s 2 - ( 1 / 2 ) a 2  )

Setzt man dies nun in die oben in rot gesetzte Formel ein, so erhält man:

V = ( 1 / 3 ) * G * h

= ( 1 / 3 ) * a 2  * √ ( s 2 - ( 1 / 2 ) a 2  )

Mit a = 7,6 cm und s = 11 cm ergibt sich:

V =  ( 1 / 3 ) * 7,6 2  * √ ( 11 2 - ( 1 / 2 ) * 7,6 2  ) ≈ 184,8 cm 3

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