z^4=-1 komplexe Nullstellen (Vierte Wurzeln von minus Eins)

Question

Bitte um ausführliche Rechnung hab schon alles ausprobiert es soll e^{(i*pi)/4} raus kommen ich versteh nicht wieso und wie man darauf kommt hab auch schon mit dem Ansatz polarkoordinaten probiert bitte um schnelle Hilfe z=r*e^{i*phi} phi ist bei mir immer Null tan(y/x) imaginarteildurxh real teil bitte ausführlich ausrechnen

Comments

Hier etwas ganz Ähnliches: https://www.mathelounge.de/97375/komplexe-gleichung-1-z-3-1-i-dritte-wurzeln   Vielleicht kannst du ja die Methode stehlen.
übrigens zum Anfangen:

-1 = 1*e^{iπ}

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Bitte um schnelle Lösung ich brauche es für Morgen und um die Aufgabe lösen zu können bitte ausführlich was der Winkel bedeutet etc.

Answer 1

-1 = 1*e^iπ

z^4 = 1*e^{iπ}           |Vierte Wurzeln: Vierte Wurzel aus Betrag und Argument durch 4. Dann zu Quadrat ergänzen.

Das musst du einfach wissen und hinschreiben können:

z1 = ⁴√1 * e^{iπ/4} = e^{iπ/4} = 1/√2 * (1+i)

z2 = ⁴√1 * e^{i(π/4 + 2π/4)} = e^{i3π/4} = 1/√2 * (-1 + i)

z3 = ⁴√1 * e^{i(π/4 + 4π/4)} = e^{i5π/4} = 1/√2 ( -1 -i)

z4 = ⁴√1 * e^{i(π/4 + 6π/4)}  = e^{i7π/4} = 1/√2 (1-i)

Skizze und Kontrolle vgl:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4+%3D+1*e%5E%28iπ%29+

Comments

Winkel sind wie üblich von der x-Achse aus im im Gegenuhrzeigersinn zu messen.

Vgl. Video hier: https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis

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Ich versteh es einfach nicht woher kommt 2pi 4 Pi 6pi in der efunktion wie kommt darauf kannst du das nicht bitte einmal ausführlich erklären was die einzelnen z.ahlen sind und wie sie auszurechnen sind

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Bei Multiplitaition werden die Argumente addiert. Daher: wenn du z^4 rechnest, musst du 4 * phi rechnen.

und es muss gelten 4*phi = π

Daher phi = π/4.

Betrachte die Formeln in Exponentialform: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Multiplikation.2C_Division_und_Addition_in_der_Polarform

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Ich verstehe es einfach nicht auch nicht woher die 2 BTW 4 und 6 in kommen kannst du das genauer erklären an dem letzten vielleicht wieso e^{I*pi/4+6/pi} woher kommt 6/pi ganz langsam bitte ich bin verzweifelt

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Bitt erkläre ausführlich was die exponenten zu bedeuten haben und wie man darauf kommt 6pi 4pi 2pi

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Hast du denn das Video und den andern Link schon angesehen? Genauer als dort kann ich das leider nicht erklären.

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Ach man ja hab ich schon sag mir doch einfach bitte wie man auf z2 z3 und z4 kommt wieso ist bei z2 e^{I(pi/4+2pi/4)} wie kommt man darauf 2pi/4 zu addieren und bei z3 dann 4pi/4 und dann 6pi/4 woher kommen die Zahlen