lgs lösen. eindeutig, mehrdeutig und unlösbar

Question

ich habe die aufgabe das lgs zu lösen.

\( \begin{aligned} \text { b) Für } k \in \mathbb{R} \text { ist das folgende Gleichungssystem gegeben: } \\ 4 \mathrm{x}_{1}+2 \mathrm{x}_{2}+(2 \mathrm{k}-4) \mathrm{x}_{3} &=2 \\ 12 \mathrm{x}_{1}+6 \mathrm{x}_{2}+(3 \mathrm{k}-3) \mathrm{x}_{3} &=3 \mathrm{k} \\\left(\mathrm{k}^{2}-\mathrm{k}-6\right) \mathrm{x}_{3} &=\mathrm{k}^{2}-4 \end{aligned} \)

Untersuchen Sie, für welche won \( \mathrm{k} \) das LGS unlösbar, mehrdeutig lösbar bzw. eindeutig lösbar ist. Bestimmen Sie im Fall der Lösbarkeit die Lösungsmenge.

ich dachte ich fang so mal an: (als Matrix):

(4, 2,  2k-4, /-4)

(12, 6, 3k-3/ 3k)

(          k^2-k-6/ k^2-4)

ich habe keine Ahnung, wie ich auf die lösung kommen soll und wann es eindeutig, mehrdeutig und unlösbar ist

Answer 1

Man kann (A|b) durch Zeilenumformungen in die Form
$$ \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2k-4 & | & 2 \\ 0 & 0 & -3k + 9 & | & 3k - 6 \\ 0 & 0 & (k-3)(k+2) & | & (k-2)(k+2) \end{bmatrix}  $$
bringen.

Dann gibt es die Fälle:

1.) k = 3. Dann tritt in der 2. Zeile ein Widerspruch auf mit (-3k + 9)x3 = 3k - 6, weil nicht durch 0 dividiert werden darf => keine Lösung

2.) k = -2. Die letzte Zeile wird komplett 0 => rg A = rg( A|b ) < n => unendlich viele Lösungen

3.) k = 2. rg A = rg(A|b) = n => Genau eine Lösung

4.) sonst. rg A = rg(A|b) = n => Genau eine Lösung