Hier der erste Grenzwert:
$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { (n-9) }^{ 9 }-{ n }^{ 9 } }{ 3{ n }^{ 8 } } } $$(n-9) 9 auflösen mit allgemeiner binomischer Formel. Dabei ist nur der erste und der zweite Summand von Interesse:$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { n }^{ 9 }-9{ n }^{ 8 } }{ 9 }^{ 1 }+36{ n }^{ 7 }{ 9 }^{ 2 }-...-1{ n }^{ 0 }{ 9 }^{ 9 }-{ n }^{ 9 } }{ 3{ n }^{ 8 } } }$$n 9 subtrahiert sich heraus: $$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { -9{ n }^{ 8 } }{ 9 }^{ 1 }+36{ n }^{ 7 }{ 9 }^{ 2 }-...-1{ n }^{ 0 }{ 9 }^{ 9 } }{ 3{ n }^{ 8 } } }$$Aus dem ersten Summanden kürzt sich n 8 heraus und ab dem zweiten Summanden sind die Potenzen im Zähler alle kleiner als die Potenz im Nenner. Daher geht ab dem zweiten Summanden alles gegen Null:$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { -9{ n }^{ 8 } }{ 9 }^{ 1 } }{ 3{ n }^{ 8 } } +\frac { 36{ n }^{ 7 }{ 9 }^{ 2 }-...-1{ n }^{ 0 }{ 9 }^{ 9 } }{ 3{ n }^{ 8 } } }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { -9* }{ 9 }^{ 1 } }{ 3 } +0 }$$$$=-\frac { 81 }{ 3 }$$$$=-27$$
Den zweiten mache ich später - oder jemand anderes ...
