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Wie berechne ich die folgenden Grenzwerte:

lim n--> unendlich: ((n-9)^9 - n^9)/ (3n^8)

und
lim n--> unendlich: ((2/(n^2)) - (3/(n^3)))/ ((5/(n^3)) - (7/(n^2))

Bitte ausführlich!
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Hier der erste Grenzwert:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { (n-9) }^{ 9 }-{ n }^{ 9 } }{ 3{ n }^{ 8 } }  } $$(n-9) 9 auflösen mit allgemeiner binomischer Formel. Dabei ist nur der erste und der zweite Summand von Interesse:$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { { n }^{ 9 }-9{ n }^{ 8 } }{ 9 }^{ 1 }+36{ n }^{ 7 }{ 9 }^{ 2 }-...-1{ n }^{ 0 }{ 9 }^{ 9 }-{ n }^{ 9 } }{ 3{ n }^{ 8 } }  }$$n 9 subtrahiert sich heraus: $$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { -9{ n }^{ 8 } }{ 9 }^{ 1 }+36{ n }^{ 7 }{ 9 }^{ 2 }-...-1{ n }^{ 0 }{ 9 }^{ 9 } }{ 3{ n }^{ 8 } }  }$$Aus dem ersten Summanden kürzt sich n 8 heraus und ab dem zweiten Summanden sind die Potenzen im Zähler alle kleiner als die Potenz im Nenner. Daher geht ab dem zweiten Summanden alles gegen Null:$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { -9{ n }^{ 8 } }{ 9 }^{ 1 } }{ 3{ n }^{ 8 } } +\frac { 36{ n }^{ 7 }{ 9 }^{ 2 }-...-1{ n }^{ 0 }{ 9 }^{ 9 } }{ 3{ n }^{ 8 } }  }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { -9* }{ 9 }^{ 1 } }{ 3 } +0 }$$$$=-\frac { 81 }{ 3 }$$$$=-27$$

Den zweiten mache ich später - oder jemand anderes ...

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