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Brauche Hilfe bei der Aufgabe, bitte.

ft (x) = -tx3 + 3t2 x2      t>o

 

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit der größten Steigung.

 

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Die Steigung von

ft ( x ) = - t x 3 + 3 t 2 x 2

an der Stelle x ist durch die erste Ableitung

ft ' ( x ) = - 3 t x 2 + 6 t 2 x

gegeben. Die Steigung ist dort maximal wo ft ' ( x ) maximal ist. Das ist höchstens dort der Fall, wo die erste Ableitung von ft ' ( x ) , also ft ' ' ( x ) den Wert Null hat. 
Man muss also die zweite Ableitung von ft ( x ) Nullsetzen:

ft ' ' ( x ) = - 6 t x + 6 t

ft ' ' ( x ) = 0

<=> - 6 t x + 6 t = 0

Dividieren durch 6 t :

<=> - x + t  = 0

<=> x = t

 

ft ' ' ' ( x ) = - 6 t < 0 für alle t > 0 (das ist vorausgesetzt) , also hat ft ' ( x ) bei x = t tatsächlich ein Maximum.

Dieses hat den Wert:

ft ' ( t ) = - 3 t * t 2 + 6 t 2 * t = 3 t 3

und das ist somit auch die Steigung der gesuchten Tangente an ft ( x ).

Die gesuchte Tangentengleichung lautet also ( mit noch unbekanntem y-Achsenabschnitt b):

t : yt ( x ) = 3 t 3 x + b

Auf dieser Tangente muss auch der Punkt ( t | f ( t ) ) = ( t | 2 t 4 ) liegen, es muss also gelten:

2 t 4 = 3 t 3 * t + b

<=> b = - t 4

Somit lautet die Gleichung der Tangente an ft ( x ) mit der größten Steigung also:

t : yt ( x ) = 3 t 3 x - t 4

 

Die Gleichung hängt natürlich vom Parameter t ab.

Für t = 3 etwa gilt:

f3 ( x ) = - 3 x 3 + 3 * 3 2 x 2 = - 3 x 3 + 27 x 2

Sie hat ihre größte Steigung bei x = t = 3 und die Tangente an f3 an dieser Stelle hat also, wie berechnet, die Gleichung:

y3 ( x ) = 3 * 3 3 x  - 3 4 = 81 x - 81

Hier ein Schaubild von f1 ( x ) , f2 ( x ) und f3 ( x )

Für f3 ( x )   ist auch die Tangente mit der größten Steigung eingezeichnet.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-+%281%29x^3+%2B+3%281%29^2+x^2+%2C+-%282%29x^3+%2B+3%282%29^2+x^2+%2C+-%283%29x^3+%2B+3%283%29^2+x^2+%2C+3+%283%29^3+x+-+%283%29^4++

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f(x) = - t·x^3 + 3·t^2·x^2
f'(x) = 6·t^2·x - 3·t·x^2
f''(x) = 6·t^2 - 6·t·x

Wendepunkt f''(x) = 0

6·t^2 - 6·t·x = 0
x = t

Wendetangente

t(x) = f'(t) * (x - t) + f(t) = t^3·(3·x - t)
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Und wocher weiß ich dann, dass es die mit der größten Steigung ist?
Wie kann eine Funktion dritten Grades mit negativem Leitkoeffizient aussehen?

Male dir dazu verschiedene Graphen in ein Koordinatensystem.

Wo haben alle ihre größte Steigung ?

Weiterhin ist die erste Ableitung eine nach unten geöffnete Parabel. Diese hat also zwangsweise ein Maximum. Also wird die Steigung irgendwo maximal.

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