Beweis von 1/(1-z)^2 = ∑(k=0 bis ∞) (k+1)*z^k bitte prüfen. Und Teilaufgabe b)

Question

Aufgabe:

a) Zeigen SIe,: Für alle z∈ℂ mit |z|<1 gelten

i) 1/(1-z)² = ∑(k=0 bis ∞) (k+1)*z^k

ii) 2/(1-z)³ = ∑(k=0 bis ∞) (k+2)(k+1)*z^k

b) Berechnen Sie

i) ∑(k=1 bis ∞) k / 2^k   und  ii)  ∑(k=1 bis ∞) k² / 2^k

 

Meine Lösungen zur a) :

i) wegen 2k+1 = (2(k+1))-1 folgt:

∑(k=1 bis ∞)(2k+1)*z^2k = -z⁰+∑(k=0 bis∞)(2k+1)(z²)^k

= -1+2∑ (k+1)(z²)^k - ∑(z²)^k

=-1+ (2/(1-z²)²) - (1/(1-z)²)

= (-(1-z²)² +2-(1-z²)) / (1-z²)²

=(3z²-z⁴) /(1-z²)²

ii) wegen k²=(k+2)(k+1)-3(k+1)+1 folgt:

∑(k=1 bis ∞) k²z^k = ∑(k=0bis∞)k²z^k

=∑(k+2)(k+1)*z^k - 3∑(k+1)*z^k + ∑z^k

= 2/(1-z)³ - 3/(1-z)² + 1/(1-z)

= (2-3(1-z)+(1-z)²) / (1-z)³

= (z²+z) / (1-z)³

 

Geht meine Lösung so? Und kann mir jemand einen Tipp zur b) geben? So wie es da steht ist auch die Aufgabenstellung, deshalb weis ich nicht wirklich was ich da berechnen soll. Ich hoffe mir kann da jemand behilflich sein !

Comments

Zu a) Die einfachste Methode scheint mir, die bekannte geometrische Reihe \(f(z) :=\dfrac1{1-z}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^k\) nach \(z\) abzuleiten, also \(f'(z)=\dfrac1{(1-z)^2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k\cdot z^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(k+1)z^k.\)
Zu b) Verwende a), multipliziere mit \(z\) und setze \(z=\frac12.\)