Stammfunktion von 1/(2x-3)

Question

wahrscheinlich eine ganz einfache Frage. Aber ich verstehe nicht wieso die Stammfunktion von 1/(2x-3) gleich (ln(2x-3))/(2) ist .

Wenn 1/ (2x-3) die Ausgangsgleichung ist. Dann würde ich durch Substitution 1/u

u=(2x-3) einsetzen. Wieder eingesetzt wäre es dann doch ((ln (2x-3) ) ?

Wo ist mein Denkfehler?

Comments

Hi, wie sieht denn Dein dx aus? Oder hast Du vergessen, das auch zu substituieren?

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wie meinst du das?

Also genau geschrieben wäre es  (1/(2x-3)) dx.

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Mit u(x) := (2x-3) folgt auch dx = du/2. Du muss (2x-3) durch u ersetzen und dx durch du/2.

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Achso danke. Ich habe vergessen, dass es ja d(u)/d(x)= f ' (x) ist.

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Na dann...

Übrigens ist die Stammfunktion von 1/x nicht ln(x)! Das steht zwar so in fast allen Formelsammlungen, aber in den besseren steht auch dabei, warum das falsch ist.

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hh18 hat recht und so habe ich es vor Jahrzehnten auch mal gelernt:

Stammfunktion von 1/x = ln|x| + c mit -oo < x < 0 und 0 < x < oo

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ok...ich bin nähmlich davon ausgegangen, da bei mir im Skript die Ableitung für f(x) = ln(x) als f'(x)= 1/(x) beschrieben ist, dass beim Stammfunktion das Gegenteil der Fall wäre.

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Wäre dann die korrekte Schreibweise F(x)= ln I 2x-3I / (2) ?

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ja das wäre eine mögliche Stammfunktion

Wenn du alle haben willst, schreibst F(x)= ln I2x-3I /(2) + c

Answer 1

Nimm mal die Funktion
f(x) = LN(2x - 3)

Und leite diese jetzt ab. Denn das ist es was du beim Integrieren ja eigentlich umkehrst.
Dir fällt sicher auf das Du hier die kettenregel verwenden musst und die innere Ableitung von 2 bei einer Ableitung noch mit als Faktor dazu kommt.

f'(x) = 1/(2x - 3) * 2

Nun taucht dieser 2 als Faktor ja nicht un unserer Funktion auf. Das ist aber nicht so schlimm, denn konstante Faktoren kann man ja einfach einer Funktion dazufügen, denn sie bleiben beim differenzieren oder integrieren unbeachtet.

So lautet dann unsere Stammfunktion

f(x) = 1/2 * LN(2x - 3)

Davon die Ableitung ist nämlich

f'(x) = 1/2 * 1/(2x - 3) * 2 = 1/(2x - 3)

Das ist es was wir eigentlich haben wollten.

Das ganze nennt sich dann auch Lineare Substitution. Dann brauchen wir beim Integrieren nur durch die Innere Ableitung nochmals teilen.

Answer 2

Ob man die richtige Stammfunktion gebildet hat kann man durch
eine Probe kontrollieren
[ ln ( term ) ] ´ = 1 / term * term ´

[ ln ( 2*x - 3 ) ] ´ = 1 / ( 2 * x - 3 ) *  ( 2*x - 3 )´
[ ln ( 2*x - 3 ) ] ´ = 1 / ( 2 * x - 3 ) *  2
[ ln ( 2*x - 3 ) ] ´ = 2 / ( 2 * x - 3 )
Stimmt also noch nicht ganz mit der Ausgangsfunktion überein.
Hier muß noch * 1/2  als inverses Glied davor.
[ 1/2 * ln ( 2*x - 3 ) ] ´ =  1 / ( 2 * x - 3 )

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg