Steckbriefaufgabe: Stelle das entsprechende Gleichungssystem auf (nicht ausrechnen)

Question

Eine Polynomfuntkion fünften Grades hat im Koordinatenursprung die x-Achse als Wendetangente und geht durch die Punkte A(2/56) und B(-1/2). Der Punkt B ist ein relativer Extrempunkt.

Answer 1

Eine Polynomfuntkion fünften Grades hat im Koordinatenursprung die x-Achse als Wendetangente

f(x) = a·x^5 + b·x^4 + c·x^3 + d·x^2 + e·x + g

f(0) = 0
g = 0

f'(0) = 0
e = 0

f''(0) = 0
2·d = 0

und geht durch die Punkte A(2/56) und B(-1/2). Der Punkt B ist ein relativer Extrempunkt.

f(2) = 56
32·a + 16·b + 8·c + 4·d + 2·e + g = 56

f(-1) = 2
-a + b - c + d - e + g = 2

f'(-1) = 0
5·a - 4·b + 3·c - 2·d + e = 0

 

Die Lösung die du nicht berechnen brauchst wäre: a = 3 ∧ b = 0 ∧ c = -5 ∧ d = 0 ∧ e = 0 ∧ g = 0

f(x) = 3·x^5 - 5·x^3

Comments

Danke,


aber wofür ist das :

f'(-1) = 0

5·a - 4·b + 3·c - 2·d + e = 0

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Der Punkt B ist ein relativer Extrempunkt.

Answer 2

Eine Polynomfuntkion fünften Grades hat im Koordinatenursprung die x-Achse als Wendetangente und geht durch die Punkte A(2|56) und B(-1|2). Der Punkt B ist ein relativer Extrempunkt

...hat im Koordinatenursprung die x-Achse als Wendetangente: hier ist nun ein Sattelpunkt mit Dreifachnullstelle.

Linearfaktorenform:

 \( f(x)=ax^3[(x-N)(x+N)]\\=ax^3(x^2-N^2)\\=a(x^5-N^2x^3)\)

...und B(-1|2). Der Punkt B ist ein relativer Extrempunkt 1. Ableitung:

\( f'(x)=a(5x^4-3N^2x^2)\)

\( f'(-1)=a(5-3N^2)=0\)

\(N^2=\frac{5}{3} \)

\( f(x)=a(x^5-\frac{5}{3}x^3)\)

A(2|56):

\( f(2)=a(32-\frac{40}{3})=a(\frac{56}{3})=56\)

\(a(\frac{1}{3})=1\)

\(a=3\)

\( f(x)=3(x^5-\frac{5}{3}x^3)=3x^5-5x^3\)

Comments

wegen Punktsymmetrie

Diese Eigenschaft gehört nicht zu den angegebenen.

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Diese Eigenschaft gehört nicht zu den angegebenen.

Sie ist nicht angegeben. Das stimmt.Aber da die x-Achse als Wendetangente fungiert , gilt auch die Punktsymmetrie. Der Wendepunkt ist ja bei W(0|0).Somat darf sie auch verwendet werden.

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Aber da die x-Achse als Wendetangente fungiert , gilt auch die Punktsymmetrie.

Nein. Betrachte \(f(x)=x^3(x-A)(x-B)\) mit \(A\neq -B\).

Prüfe doch solche Behauptungen bitte, wenn du sie aufstellst.

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Sie [die Punktsymmetrie zum Ursprung] ist nicht angegeben. Das stimmt. Aber da die x-Achse als Wendetangente [im Ursprung] fungiert, gilt auch die Punktsymmetrie.

Für die Graphen von ganzrationalen Funktionen vom Grade 3 ist dies so, der hier vorgegebene Grad 5 erlaubt mehr Freiheit.

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 \( f(x)=ax^3[(x-N)(x+N)]\). Bedingung für Punktsymmetrie lautet:

\( f(-x)=-f(x) \)

Überprüfung:

\( f(-x)=a(-x)^3[(-x-N)(-x+N)]\).

\( f(-x)=-a(x)^3[(x^2-Nx+Nx-N^2)]\).

\( -f(x)=-ax^3(x^2-N^2)\)

Also liegt Punktsymmetrie vor.

Das zeigt auch der Graph:

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Mit deinem Ansatz nimmst du an, dass Punktsymmetrie gilt. Etwas anzunehmen, um genau das zu beweisen, ist sicherlich nicht zielführend.

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Was ist denn nun zielführend?

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Annehmen, dass keine Punktsymmetrie gilt!

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Du meinst hoffentlich "Nicht annehmen, dass Punktsymmetrie gilt" .

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Ähm ja, natürlich. Danke. Da hab ich an der falschen Stelle verneint. ;)