Gruppentheorie Untergruppenkriterium beweisen

Question

Hi,

Ist (G, ◦) eine Gruppe, dann ist eine nicht leere Teilmenge U von G genau dann Untergruppe von G bzgl. ◦, wenn gilt:
Für beliebige a, b∈U ist auch a◦b−1 ∈U.

Bitte einen Denkstoss. Danke... 

Comments

Du kannst die beiden Richtungen der Aussage getrennt untersuchen:

(1) Wenn U eine Untergruppe von (G,☼) und a, b ∈ U ist, dann ist a☼b⁻¹ ∈ U.

(2) Wenn U eine nicht leere Teilmenge von G ist und für alle a, b ∈ U auch a☼b⁻¹ ∈ U ist, dann ist U eine Untergruppe von (G,☼).

(1) sollte eher einfach sein und bei (2) könnte man die Gruppenaxiome abklappern.

Answer 1

Mal in eine Richtung Voraussetzung: 
Für beliebige a, b∈U ist auch a◦b^{−1} ∈U. 
 
Gemäss Untergruppen- Definition in Wikipedia musst du zeigen, dass  

 1. Für beliebige a, b∈U ist auch a◦b ∈U und  
  2. Für beliebige a∈U ist auch a^{−1} ∈U 

  Beweis: Beginne mit 2. 
  Sei a∈U und b=a  so ist  wegen a◦b^{−1} ∈U auch a◦a^{−1} = e ∈U.
nun wegen e◦a(−1) ∈U auch a^{-1} ∈U. 
Nun noch zu 1. Seien a, b∈U  so ist auch b^{-1}∈U . 
 und wegen der Voraussetzung  auch a*(b^{-1})^{-1} = a*b ∈U  


  Soweit klar? Dann kannst du dich nun noch an der Gegenrichtung versuchen. EDIT: Hoffentlich bleibt nun die Gliederung beim Speichern bestehen.

Comments

Fast klar.

Wieso: "nun wegen e◦a(−1) ∈U". Wieso ist e*a^-1 aus U, nur weil e ∈ U? Danke :)

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Vorausgesetzt e und a sind Elemente von U und dann die Formel x*y^{-1} benutzt.

a hatten wir ja als Element vorausgesetzt, da U nicht leer ist. Und dann haben wir festgestellt, dass e in U sein muss.

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Ok, a und e sind aus G. Das neutrale Element haben wir schonmal. Wenn nun a,b aus U sind, und a*b^-1 ebenfalls aus U sein soll, dann muss es zu b ja ein inverses geben? 

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Zumindest ein Inverses von b. Aber du kannst a ja auch b nennen.

e*b^{-1} = b^{-1}

und

e*a^{-1} = a^{-1} 

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Hm, wie soll ich zeigen, dass zu jedem \(n \in U\) ein Inverses existier, wenn a*b^-1 ∈ U?

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Voraussetzung immer noch:  
Für beliebige a, b∈U ist auch a◦b^-1 ∈U.

Und du hast schon e ∈ U?

Wenn nicht, setze n als a und als b ein:

n*n^{-1} = e ∈ U

und nun

e*n^{-1} = n^{-1} ∈ U