Logarithmusgleichung lösen: (log2(x))2 - 7log2(x)+12=0

Question

Hi,

könnte nochmals Hilfe bei den Logarithmusgleichungen brauchen.

log₂(x)²-7log₂(x)+12=0

Danke

Answer 1

Annahme: Es steht hier der ganze log2(x) im Quadrat?

(log₂(x))²-7log₂(x)+12=0       |12 = -3*(-4), -3 + (-4) = -7  , faktorisieren

(log₂(x) - 3)(log₂(x) - 4) = 0

Nun die beiden Klammern Null setzen ---> 2 Lösungen

log₂(x) = 3 -----> x₁= 2³ = 8

log₂(x) = 4 -----> x ₂= 2⁴ = 16

Comments

Das ging ja schnell. Das ist Vieta gewesen?

Wie komme ich da am schnellsten auf eine Lösung? Hast du einen Tipp?

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Faktorisiere die 12 in 2 Faktoren deren Summe -7 ist. (Vieta)

Dann die Definition des Logarithmus benutzen.

Vgl hier: https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus

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Genau, aber wie kommst du

Faktorisiere die 12 in 2 Faktoren deren Summe -7 ist. (Vieta)

ganz schnell. Es gibt ja ein paar Faktoren bei der 12.

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12

Es müssen ja beide positiv oder beide negativ sein, damit als Produkt +12 rauskommt.

Und dann bist du schnell 1*12, 2*6, 3*4, weiter muss man nicht mehr testen, da 3+4=7.

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Ok, das ist schön, wenn man es sieht. Sonst aber die PQ-Formel eine gute Alternative?

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Ja die pq-Formel kannst du immer nehmen, aber du wirst den Vieta mit der Zeit auch schneller sehen.

Answer 2

Hi ChrisStoff,

nutze die Möglichkeiten der Substitution.

log₂(x) = u

Damit ergibt sich

u² - 7u + 12 = 0   |pq-Formel

u₁ = 3 und u₂ = 4

Damit nun wieder Resubstituieren:

u₁:

log₂(x) = 3

x = 2³ = 8

u₂:

log₂(x) = 4

x = 2⁴ = 16

Alles klar?

Mach die Probe!

Grüße

P.S.: Schau bitte nochmals hierrein: https://www.mathelounge.de/143788/logarithmusgleichung-losen-log4-3x…

Da hatte ich nicht auf die Probe geachtet ;).

Comments

Danke auch dir. Schön, dass du mir wieder hilfst.

Habe ich gesehen. Ist kein Problem.

Answer 3

Wähle die Subst: u := log₂ (x).

--> u² - 7u + 12 = 0

1. Möglichkeit:

Faktorisieren: u² - 7u + 12 = (u-3)*(u-4) = 0 --> u₁ = 3 und u₂ = 4. Resubst...

2. Möglichkeit:

Einfach die pq-Formel.

Gruss

Answer 4

Hm... scheint ja viele Möglichkeiten zu geben; hier eine
noch nicht erwähnte, alle Umformungen sind äquivalent::

(log₂(x))² - 7*log₂(x) + 12 = 0

(log₂(x))² - 7*log₂(x) + (7/2)² - 49/4 + 12 = 0

(log₂(x) - 7/2)² - (1/2)² = 0

(log₂(x) - 7/2 - 1/2) * (log₂(x) - 7/2 + 1/2) = 0

(log₂(x) - 4) * (log₂(x) - 3) = 0

log₂(x)  = 4 oder log₂(x) = 3

x = 2⁴ oder x = 2³

x = 16 oder x = 8.