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Ich benötige eure Hilfe bei einer Aufgabe. Vermutlich ist sie relativ simpel, aber irgendwie komme ich nicht weiter.

$$ \left( \frac { 3 } { 4 } a + \frac { 2 } { 3 } b \right) \left( \frac { - 4 } { 5 } a - \frac { 9 } { 8 } b \right)  $$

Meine Vorgehensweise wäre, dass ich zunächst in den Klammern "arbeite" und die Brüche auf einen Nenner bringe.
Hätte dann also in der ersten Klammer "12ab" als Hauptnenner und "40ab" in der zweiten Klammer als Hauptnenner.
Da dann in der Klammer alle Brüche jeweils den selben Nenner haben, ließen sich die Brüche jeder Klammer so addieren. Im Anschluss dann die Multiplikation der Ergebnisse aus den Klammern.

Allerdings sieht die Lösung des Buches folgende Lösung vor (hat vermutlich etwas mit binomischen Formeln zu tun):
$$ - \frac { 3 } { 5 } a ^ { 2 } - \frac { 661 } { 480 } a b - \frac { 3 } { 4 } b ^ { 2 } $$

Ich bin noch nicht wirklich dahinter gestiegen, wie das Buch auf diese Lösung kommt.

Vielleicht kann es mir ja hier jemand erklären. Darüber wäre ich wirklich froh und danke im Voraus.

Gefragt von
Achtung: a und b stehen nirgends unter dem Bruchstrich. Mach daraus (wenn schon) a/1 und b/1. Aber eigentlich ist das nicht nötig.

Du musst nur systematisch jeden Summanden mit jedem multiplizieren
genau wie bei (2a -3b)(5a+7b) = 10a^2 + 14ab- 15ab-21b^2 = 10a^2 - 36ab - 21b^2
OK, danke, genau das war mein Fehler!
Dann probiere ich es erneut :)

2 Antworten

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(3/4·a + 2/3·b)·(- 4/5·a - 9/8·b)

(3/4·a) * (- 4/5·a) + (3/4·a) * (- 9/8·b) + (2/3·b) * (- 4/5·a) + (2/3·b) * (- 9/8·b)

(- 3/5·a^2) + (- 27/32·a·b) + (- 8/15·a·b) + (- 3/4·b^2)

- 3/5·a^2 - 661/480·a·b - 3/4·b^2
Beantwortet von 264 k
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Wenn du genau hinsiehst, dann siehst du, dass es sich um eine einfache Aufgabe, die der 2. binomischen Formel ähnelt, handelt. Also da kann man ganz einfach die Brüche miteinander malnehmen, ohne zu addieren oder subtrahieren. Dies kann man am Schluss machen. (Das einzige, was sich lohnen würde, wäre zu kürzen, ist aber nicht möglich).

Ich löse einfach mal vor: 

$$ \left( \frac { 3 }{ 4 } a+\frac { 2 }{ 3 } b \right) \left( \frac { -4 }{ 5 } a-\frac { 9 }{ 8 } b \right) \\ \left( \frac { 3a }{ 4 } +\frac { 2b }{ 3 }  \right) \left( \frac { -4a }{ 5 } -\frac { 9b }{ 8 }  \right) \\ \frac { 3a }{ 4 } \times \frac { -4a }{ 5 } \quad +\quad \frac { 3a }{ 4 } \times -\frac { 9b }{ 8 } \quad +\quad \frac { 2b }{ 3 } \times \frac { -4a }{ 5 } \quad +\quad \frac { 2b }{ 3 } \times -\frac { 9b }{ 8 } \\ \frac { 3a }{ 1 } \times \frac { -1a }{ 5 } \quad +\quad \frac { 3a }{ 4 } \times -\frac { 9b }{ 8 } \quad +\quad \frac { 2b }{ 3 } \times \frac { -4a }{ 5 } \quad +\quad \frac { b }{ 1 } \times -\frac { 3b }{ 4 } \\ \frac { -3a^{ 2 } }{ 5 } \quad -\quad \frac { 27ab }{ 32 } \quad -\quad \frac { 8ab }{ 15 } \quad -\quad \frac { 3b^{ 2 } }{ 4 } \quad \quad \quad \quad \quad | \text{ auf 480 erweitern} \\ \frac { -3a^{ 2 }\times 96 }{ 5\times 96 } \quad -\quad \frac { 27ab\times 15 }{ 32\times 15 } \quad -\quad \frac { 8ab\times 32 }{ 15\times 32 } \quad -\quad \frac { 3b^{ 2 }\times 120 }{ 4\times 120 } \\ \frac { -288a^{ 2 } }{ 480 } \quad -\quad \frac { 405ab }{ 480 } \quad -\quad \frac { 256ab }{ 480 } \quad -\quad \frac { 360b^{ 2 } }{ 480 } \\ \frac { -288a^{ 2 }-405ab-256ab-360b^{ 2 } }{ 480 } \\ \frac { -288a^{ 2 }-661ab-360b^{ 2 } }{ 480 } $$

Vielleicht kann man im Zähler noch etwas ausklammern und somit kürzen, aber ich komme nicht darauf.

Ich hoffe, ich konnte helfen und du verstehst es jetzt!

Beantwortet von 4,0 k
OK, vielen Dank, ich habe es jetzt verstanden. Ich wusste nicht, dass ich in diesem Fall einfach alle Brüche mit gleicher Variable malnehmen kann wegen der Klammern.
Die Klammern haben mich verwirrt, weil ich mich bei Klammern mit Rechnungen in den Klammern meist erst auf die Klammern stürze ;)
Ach ja, ich habe festgestellt, dass man einfach den mittleren Bruch hätte kürzen können... (dann gäbe es dieselbe Lösung wie vom MatheCoach)

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