Rang, Kern, Bild und Determinante einer Matrix

Question

A=(1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16)

Bestimme Rang, Kern, Bild und Determinante der obigen Matrix in Abhängigkeit von A.

Der Rang ist doch die Anzahl der unabhängigen Zeilen, oder? Heißt, ich muss die Matrix erst einmal in Zeilenstufenform bringen?

Kern und Bild habe ich noch keine Idee.

Zur Determinante fällt mir der Laplacesche Entwicklungssatz ein. Heißt, dass ich das ganze auf eine 3x3 Matrix reduzieren müsste? Bin mir aber noch unsicher bei der Verwendung dieses Satzes.

Comments

Ja der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten. Beachte, dass bei quadratischen Matrizen Zeilenrang = Spaltenrang gilt.

Die Determinante würde ich hier mit Gauß bestimmen, da du die Matrix eh in ZSF bringen musst, um den Rang zu bestimmen und Laplace hier sehr umständlich ist, da du keine einzige 0 hast.

\(\ker(A):=\{v~|~Av=0\}\)

D.h. um ker(A) zu bestimmen, musst du alle Lösungen der Gleichung Av=0 bestimmen.

\(Im(A):=\{Ax~|~x\in\mathbb{R}^4\}\)

Um das Bild zu untersuchen, musst du die Bilder der Einheitsvektoren untersuchen (das sind die Spalten der Matrix). Denn durch die Bilder der Einheitsvektoren wird das gesamte Bild aufgespannt. Denn (am Beispiel eines zweidimensionalen Raumes \(V\) mit Basis \((e_1, e_2)\)) es gilt:

Jedes \(v\in V\) lässt sich schreiben als \(v=\lambda \cdot e_1 + \mu \cdot e_2\). Deshalb lässt sich jeder Vektor aus dem Bild schreiben als

$$ Av = A(\lambda \cdot e_1 + \mu \cdot e_2) = \lambda \cdot Ae_1 + \mu \cdot Ae_2 $$

sprich in Abhängigkeit der Bilder der Basisvektoren.

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Werde mal versuchen mit deinen Tipps weiterzukommen.

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also mit dem Rang, dem Bild und der Determinante bin ich klar gekommen. Das mit dem Kern verstehe ich leider noch nicht. Kannst du mir das vielleicht an diesem oder einem anderen Beispiel vorrechnen?

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Betrachten wir \(A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}   \in\mathbb{R}^{2\times 2}\).

Ich erinnere noch mal an die Definition des Kerns:

$$ \ker(A):=\{v\in \mathbb{R^2}~|~Av=0 \} $$.

Wir suchen nun alle \(v\), die diese Eigenschaft erfüllen. Dazu betrachten wir die Gleichung \(Av=0\) bzw.

$$ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} v = 0~. $$

Dies ist ein (homogenes) lineares Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix

$$ \begin{pmatrix} 2 & 4 & \quad |\quad 0 \\ -1 & -2 & \quad |\quad 0 \end{pmatrix}~. $$

Mit Gauß erhält man

$$ \begin{pmatrix} 2 & 4 & \quad |\quad 0 \\ 0 & 0 & \quad |\quad 0 \end{pmatrix} $$

d.h. die Lösungsvektoren \(v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\) erfüllen die Gleichung \(2v_1 + 4v_2 = 0\).

Sei \(v_2 = t\in\mathbb{R}\). Es folgt \(v_1 = -2t\) und damit haben alle Lösungen die Form \(t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da \(\ker(A)\) aus genau diesen Vektoren besteht, folgt \(\ker(A)=\langle \begin{pmatrix} -2 \\1 \end{pmatrix} \rangle\).

Alles klar?

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Danke nochmals!

Deine Erklärung konnte ich sehr gut nachvollziehen. Jetzt sollte es klappen.

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Hallo LC. Könntest du noch eine Antwort schreiben, weil die Frage ja damit beantwortet ist.

PS: Man kann sich ein paar Dinge zur Kontrolle auch immer bei Wolframalpha ansehen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C2%2C3%2C4%7D%2C%7B5%2C6%2C7%2C8%7D%2C%7B9%2C10%2C11%2C12%7D%2C%7B13%2C14%2C15%2C16%7D%7D&lk=4&num=1

Da hat man dann schon Determinante, Eigenwerte und Eigenvektoren und den Rang zum vergleichen.

Answer 1

Zieht man die erste Zeile (oder Spalte) von der 2.,3. und 4. Zeile (Spalte) ab ergibt sich eine Matrix vom Rang 2, da die 3. und 4. Zeile (Spalte) Vielfache der 2. sind. Damit ist die Determinante auomatisch 0. Um den Kern zu bestimmen verwende Gauß.