Rechnung für linksseitigen Grenzwert

Question

Ist meine Rechnung für linksseitigen Grenzwert so richtig?

\( a_{n} =\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^{2}-49} \)

Linksseitig:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 7 ; x < 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^{2}-49} \)

\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{2-\sqrt{(7-h)-3}}{(7-h)^{2}-49} \)

\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{2-\sqrt{4-h}}{-14 h+h^{2}} \)

\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h\left(\frac{2}{h}-\frac{\sqrt{4}}{h^{2}}-\frac{\sqrt{1}}{h}\right)}{h(-14+h)} \)

\( =g=\infty \)

Comments

Warum willst Du den linksseitigen Grenzwert ausrechnen? Was soll die Einschränkung? Warum steht da "an=..."? Was ist die eigentliche Aufgabe?

Answer 1

Linksseitiger Grenzwert

\( \lim_{x\rightarrow7^-} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}=\lim_{h\rightarrow0} \frac{2-\sqrt{7-h-3}}{(7-h)^2-49}=\lim_{h\rightarrow0} \frac{2-\sqrt{4-h}}{h^2-14h}=\lim_{h\rightarrow0} \frac{2-\sqrt{4-h}}{h(h-14)}\cdot \frac{2+\sqrt{4-h}}{2+\sqrt{4-h}}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h}{h(h-14)(2+\sqrt{4-h})}=\frac{1}{(-14)(2+\sqrt4)}=-\frac{1}{56} \)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit+%282-sqrt%28x-3%29%29%2F%28x%5E2-49%29+x-%3E7-

Answer 2

Die Substitution ist falsch, es ist x-7 =h.
Ferner verwendet du die Rechenregel \( \sqrt{a+b} = \sqrt{a} +\sqrt{b} \) die es nicht gibt,
und in dein letzter Limes-Ausdruck ist von der Form 0/0, d.h. man kann nicht ohne weiteres eine Aussage
machen was rauskommt.

Der angenehmste Weg hier den Grenzwert zu berechnen dürfte L'Hopital sein.

Answer 3

Mit den eher elementaren Umformungen (Erweitern und Kürzen) lässt sich erreichen, dass beim Grenzübergang der Nenner nicht mehr Null wird...

$$ \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49} = \frac{7-x}{\left(x^2-49\right)\cdot\left(2+\sqrt{x-3}\right)}  = \frac{-1}{\left(x+7\right)\cdot\left(2+\sqrt{x-3}\right)} $$

...und daher der gesuchte Grenzwert durch Einsetzen bestimmt werden kann.

Comments

In deinem ersten Kommentar hast du geschrieben

Warum willst Du den linksseitigen Grenzwert ausrechnen?

Warum nicht ? Dies ist wahrscheinlich eine Aufgabe die dem Fragesteller so zur Lösung gestellt wurde.

Was soll die Einschränkung?

Du beziehst dich wahrscheinlich auf " linksseitig ". Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert können doch unterschiedlich sein. Daher ist die Angabe welcher Grenzwert
bestimmt werden soll nicht unüblich.

Was ist die eigentliche Aufgabe?

Den lim x -> 7 ( - )  zu bestimmen. Für mich eine doch relativ klare Aufgabenstellung.

Dein Lösungsweg, nur mit Umformungen, habe ich auch noch nicht gesehen.

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@Georg: Ich habe die Grenzwertberechnung als Teilbearbeitung einer anderen (der eigentlichen) Aufgabe aufgefasst, vielleicht einer Untersuchung auf stetige Fortsetzbarkeit. Dabei kann man einseitige Limiten betrachten, wenn man den Verdacht hat, dass die betrachtete Funktion nicht stetig fortsetzbar ist. Dieser Verdacht drängt sich hier nicht auf, also würde ich den beidseitigen Limes bestimmen wollen.

Meine Umformung finde ich gar nicht mal ungewöhnlich. Denn wenn der Grenzwert existiert, dann muss (x-7) herausgekürzt werden können. Dabei stört die Wurzel im Zähler, sie lässt sich durch Erweitern beseitigen. Danach kann gekürzt werden. Auf dem umgekehrten Weg lassen sich beliebig komplizierte Terme zu vorgegebenen Limiten konstruieren.

Was ich allerdings gar nicht verstehe, ist die Verwendung der Substitution x=(7-h) oder x=(h-7) in zwei der vorgestellten Lösungen. Sie verursacht mehr Aufwand ohne irgendeinen Nutzen zu bewirken. Die wesentlichen Schritte in der Antwort von sigma sind im übrigen dieselben wie in meiner.

PS: Hier noch der WolframAlpha-Link mit richtiger Klammerung:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit%282-sqrt%28x-3%29%29%2F%28+x^2-49%29%2C++x-%3E7

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Ich habe mir den Ausgangsterm nicht so genau angeschaut
weshalb oder in welchem Zusammhang die Frage gestellt
wurde. Für mich war es eine ganz normal Aufgabe die zu
beantworten war.

Die Vorgehensweise des Fragestellers und des ersten
Beantworters habe ich mir nicht im Detail angeschaut
weil sie mir umständlich erschienen.

Der Fragesteller hat  versucht den Limes nach der
delta-h-Methode herauszufinden. Anstelle x gegen 7
laufen zu lassen, wird x = 7 eingesetzt plus einem
klitzekleinen h was man dann gegen null gehen
läßt. So in etwa.

Der erste Antwortgeber hat dementsprechend auch
seine Lösung präsentiert  welche allerdings reichlich
umfangreich geraten ist.

Der 2.Antwortgeber meinte : ein Fall für l`Hospital
ohne das allerdings vorzuführen

Du hast geschickte Umformungen angewendet ( Ziel :
Nenner  ungleich null machen ) um zum Ergebnis zu
kommen. Nochmals meinen Glückwunsch dazu.

Ich habe l´Hospital vorgeführt weil ich das Verfahren immer
anwende und es zumeist auch effektiv ist.

mfg Georg

Answer 4

0 / 0 ist für mich ein klarer Fall für l´Hospital.
Damit die Variante auch einmal vorgeführt wird.
Z ´ / N ´

mfg Georg