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Bestimmung der Berührpunkte und Gleichung der Tangente bei:

\(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) von P \((0|1)  \) ;     \(f(x)=4x-x^2 \) von \(P(0|1)\);

 \(f(x) = \frac{2}{x} \)von \(P(-3|2)\)

Bitte ausführlicher Lösungsweg mit allg. Tangentenformel.

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a)

\(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) von P \((0|1)  \)

\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{0}}\)      Eine Division durch 0 ist nicht erlaubt .

Hier ist \(x=0\), also die y-Achse die Tangente.

b)

\(f(x)=4x-x^2 \) von \(P(0|1)\)

\(f'(x)=4-2x \)

\(f'(0)=4 \)

Punkt -Steigungsform der Tangente:

\( \frac{y-1}{x-0}=4 \)

\( y=4x+1 \)

c)

\(f(x) = \frac{2}{x} =2x^{-1}\)  von \(P(-3|2)\)

\(f'(x)  =(-1)\cdot 2x^{-1-1}=(-1)\cdot 2x^{-2}=-\frac{2}{x^2}\)

\(f'(-3)  =-\frac{2}{9}\)

\(\frac{y-2}{x+3}=-\frac{2}{9}\)

\(y=-\frac{2}{9}(x+3)+2=-\frac{2}{9}x+\frac{4}{3}\)

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Wo es nicht halbrichtig ist, ist es doch immerhin falsch.

Das ist wohl nicht mein Tag!

Dein Fehler :
Du unterscheidest nicht zwischen dem Berührpunkt B auf dem Graphen der Funktion (der muss erst einmal berechnet werden) und dem Punkt P, durch den die Tangente laufen soll.

Verbesserte Version mit 3 verschiedenen Lösungswegen:

a)

Tangente an \(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)  von P \((0|1)  \)   aus:

Berührpunkte sind B \(( x |x^{\frac{1}{2}})\)

\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(\frac{x^{\frac{1}{2}}-1}{x-0}=\frac{1}{2\sqrt{x}}  \)

\(\frac{\sqrt{x}-1}{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}  \)

\(2x -2\sqrt{x}=x \)

\(x =2\sqrt{x} \)

\(x^2 -4x=0 \)

\(x_1=0 \)      \(y_1=0 \)  Tangente ist \(x=0\)

\(x_2=\green{4} \)     \(y_2=\red{2} \)

1. Tangente ist die y-Achse.

2.Tangente:

\(f'(\green{4})=\frac{1}{2\sqrt{\green{4}}}=\frac{1}{4}\)

\( \frac{y-\red{2}}{x-\green{4}} =\frac{1}{4}\)

\(y=\frac{1}{4}x+1\)

b)

Tangente an \(f(x)=4x-x^2 \) von \(P(0|1)\) aus:

Geradenbüschel durch \(P(0|1)\):

\(  \frac{y-1}{x}=m\)

\( y=mx+1\)  Nun mit   \(f(x)=4x-x^2 \) schneiden:

\(4x-x^2=mx+1 \)

\(x^2+mx-4x=-1 \)

\(x^2+x(m-4)+(\frac{m-4}{2})^2=-1+(\frac{m-4}{2})^2 \)

\((x+\frac{m-4}{2})^2=-1+(\frac{m-4}{2})^2 |±\sqrt{~~} \)

\(x+\frac{m-4}{2}=\sqrt{-1+(\frac{m-4}{2})^2} \)

Es liegt dann eine Tangente vor, wenn \(\sqrt{-1+(\frac{m-4}{2})^2}=0\) ist:

\(m_1=2\) ∨ \(m_2=6\)

Tangentengleichungen:

\(  \frac{y-1}{x}=2\)

\(y=2x+1\)

\(y=6x+1\)

c)

Tangente an \(f(x)=\frac{2}{x} \) von\(P(-3|2)\) aus:

\(f(x) = \frac{2}{x} \)

\(f'(x) = -\frac{2}{x^2} \)

\(\frac{y-2}{x+3}=-\frac{2}{x^2}\)

\(y=-\frac{2}{x}-\frac{6}{x^2}+2\)

Schnitt mit  \(f(x)=\frac{2}{x} \) ergibt die beiden Berührstellen.

Unbenannt.JPG

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Hier meine Vergleichslösungen:

a)

~plot~ sqrt(x);x=0;x/4+1 ~plot~

b)

~plot~ 4x-x^2;2x+1;6x+1 ~plot~

c)

~plot~ 2/x;4/3-2/9x;-2x-4 ~plot~

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Da solltest du a) ergänzen.

Da solltest du a) ergänzen.

Danke ist ergänzt.

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