Verbesserte Version mit 3 verschiedenen Lösungswegen:
a)
Tangente an \(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) von P \((0|1) \) aus:
Berührpunkte sind B \(( x |x^{\frac{1}{2}})\)
\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\frac{x^{\frac{1}{2}}-1}{x-0}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\(\frac{\sqrt{x}-1}{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\(2x -2\sqrt{x}=x \)
\(x =2\sqrt{x} \)
\(x^2 -4x=0 \)
\(x_1=0 \) \(y_1=0 \) Tangente ist \(x=0\)
\(x_2=\green{4} \) \(y_2=\red{2} \)
1. Tangente ist die y-Achse.
2.Tangente:
\(f'(\green{4})=\frac{1}{2\sqrt{\green{4}}}=\frac{1}{4}\)
\( \frac{y-\red{2}}{x-\green{4}} =\frac{1}{4}\)
\(y=\frac{1}{4}x+1\)
b)
Tangente an \(f(x)=4x-x^2 \) von \(P(0|1)\) aus:
Geradenbüschel durch \(P(0|1)\):
\( \frac{y-1}{x}=m\)
\( y=mx+1\) Nun mit \(f(x)=4x-x^2 \) schneiden:
\(4x-x^2=mx+1 \)
\(x^2+mx-4x=-1 \)
\(x^2+x(m-4)+(\frac{m-4}{2})^2=-1+(\frac{m-4}{2})^2 \)
\((x+\frac{m-4}{2})^2=-1+(\frac{m-4}{2})^2 |±\sqrt{~~} \)
\(x+\frac{m-4}{2}=\sqrt{-1+(\frac{m-4}{2})^2} \)
Es liegt dann eine Tangente vor, wenn \(\sqrt{-1+(\frac{m-4}{2})^2}=0\) ist:
\(m_1=2\) ∨ \(m_2=6\)
Tangentengleichungen:
\( \frac{y-1}{x}=2\)
\(y=2x+1\)
\(y=6x+1\)
c)
Tangente an \(f(x)=\frac{2}{x} \) von\(P(-3|2)\) aus:
\(f(x) = \frac{2}{x} \)
\(f'(x) = -\frac{2}{x^2} \)
\(\frac{y-2}{x+3}=-\frac{2}{x^2}\)
\(y=-\frac{2}{x}-\frac{6}{x^2}+2\)
Schnitt mit \(f(x)=\frac{2}{x} \) ergibt die beiden Berührstellen.
