Def1: Sei D ⊆ ℝ, sei f : D → ℝ eine Funktion, sei x0 ∈ ℝ ein Berührungspunkt von D und
sei a ∈ ℝ. Wir schreiben lim f(x) = a,
x→x0
falls zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x ∈ D mit |x − x0| < δ gilt:
|f(x) − a| < ϵ.
DEf 2: Für jede Folge xn mit GW x0 gilt Folge f(xn) geht gegen a
Äquivalenzbeweis:
Aus Def 1 folgt Def2: (xo Berührpkt steht eh bei beiden)
Sein xn eine Folge mit GW x0.
Nun ist mittels Def1
lim f(xn) = a,
x→x0
zu beweisen, d.h. dass es zu jedem eps>0 ein no gibt, mit |f(x) − a| < ϵ
für alle n>no.
Sei nun eps>0 dann gilt: es gibt es nach Def1 ein delta mit
|x − x0| < δ hat zur Folge |f(x) − a| < ϵ.
für dieses Delta gibt es aber nach GW-Def angewandt auf die gegen xo
konvergente Folge der xn ein no so dass für n>no |x − x0| < delta ist.
also gilt für diese n > no auch |f(x) − a| < ϵ.denn das folgt ja aus |x − x0| < delta ist.
aus def2 folgt def1:
sei eps>0 dann ist zu zeigen: es gibt ein delta......
betrachte nun alle für alle Folgen xn mit Grenzwert x0 unddie Folge f(xn) der Funktionswerte.
dann gibt es jedes Mal ein no mit n>no hat zur Folge |f(x) − a| < ϵ
da xn gegen xo konvergiert, liegen bei jeder dieser Folgen von xo die Folgenglieder alle in einer delta-Umgebung von xo. Das kleinste dieser Delta-Werte ist das gesuchte Delta.
von x0. Dieses ist das gesuchte Delta. für
