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Beweisen Sie, dass die Definition  und die folgende Definition äquivalent sind:


Sei D ⊆ ℝ, sei f : D → ℝ  eine Funktion, sei x0 ∈ ℝ ein Berührungspunkt  von D und

sei a ∈ ℝ. Wir schreiben lim  f(x) = a,
                                             x→x0

falls zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle  x ∈ D mit |x − x0| < δ gilt:

|f(x) − a| < ϵ.



Wie kann man das beweisen?

von

Da musst du schon die andere Definition auch mit angeben.

Ich hab die Definition vergessen...Bild Mathematik

Ein guter Anfang wäre beide Richtungen "=>" und "<=" zu zeigen (falls überhaupt nötig). Die Definition der Konvergenz sollte auch behilflich sein.

Was bedeutet dieses => oder <=  ...?

Also in diese Richtung, aber inwiefern? Das begreife ich nicht...

Könntest du etwas ausführlicher erklären?

Mfg Joél

Ja genau du zeigst aus A folgt B und aus B folgt A. Dann sind A und B äquivalent. Wundert mich, dass du diese Art des Beweises noch nicht kennst, obwohl du schon bei Kapitel 6 bist! ;)

1 Antwort

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Beste Antwort

Def1:   Sei D ⊆ ℝ, sei f : D → ℝ  eine Funktion, sei x0 ∈ ℝ ein Berührungspunkt  von D und

sei a ∈ ℝ. Wir schreiben lim  f(x) = a,
                                             x→x0

falls zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle  x ∈ D mit |x − x0| < δ gilt:

|f(x) − a| < ϵ.


DEf 2: Für jede Folge xn mit  GW x0 gilt  Folge  f(xn) geht gegen a


Äquivalenzbeweis:

Aus Def 1 folgt Def2:    (xo Berührpkt steht eh bei beiden)

Sein xn eine Folge mit GW x0.


Nun ist mittels Def1

lim  f(xn) = a,
        x→x0

zu beweisen, d.h. dass es zu jedem eps>0 ein no gibt, mit |f(x) − a| < ϵ

für alle n>no.

Sei nun eps>0  dann gilt:  es gibt es nach Def1 ein delta mit

|x − x0| < δ hat zur Folge  |f(x) − a| < ϵ.

für dieses Delta gibt es aber nach GW-Def angewandt auf die gegen xo

konvergente Folge der xn ein no  so dass für n>no   |x − x0| < delta ist.

also gilt für diese n > no   auch   |f(x) − a| < ϵ.denn das folgt ja aus   |x − x0| < delta ist.


aus def2 folgt def1:

sei eps>0 dann ist zu zeigen:  es gibt ein delta......

betrachte nun alle für alle Folgen xn  mit  Grenzwert  x0  unddie Folge f(xn)  der Funktionswerte.
dann gibt es jedes Mal ein no mit  n>no hat zur Folge |f(x) − a| < ϵ

da xn gegen xo konvergiert, liegen bei jeder dieser Folgen von xo die Folgenglieder alle in einer delta-Umgebung von xo.  Das kleinste dieser Delta-Werte ist das gesuchte Delta.
von x0.  Dieses ist das gesuchte Delta. für
von 152 k
mathef!danke für den serh aufschlussreichen Beweis! Ich habe dennoch Frage an dich: du schreibst, dass der kleinste Betrag aller Differenzen aller Folgeglieder von allen Folgen, die gegen x0 laufen gewählt werden soll. Sry, ist etwas kompliziert geworden. :-) Für die konstente Folge: xn:=x0 f.a. n€N wäre er ja Null, somit delta auch, was aber problematisch für die erste Def. ist.Täusche ich mich hierbei?GrüßeMichael

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