Question

Seien X, Y zwei Menge und ƒ : X → Y eine Abbildung. Ferner seien A,B ⊂ X sowie U, V ⊂ Y Teilmengen. Verfizieren Sie, dass

ƒ(A ∩ B) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B)  und  ƒ^-1(U ∩ V) = ƒ^-1(U) ∩ ƒ^-1(V).
Zeigen Sie weiterhin durch ein Gegenbeispiel, dass die erste Inklusion im Allgemeinen keine Gleichheit ist.

Comments

Einfach die Aufgabe hier hinzuknallen bringt nicht viel. Sieht nach ner leichten typischen Erstsemester-Aufgabe aus, in diesem Fall ist es wohl besser, dass du erst mal sagst, wo genau dein Problem liegt und wie weit du eventuell schon gekommen bist. Wenn man das jetzt einfach vormacht bringt dich das vermutlich nicht so sehr weiter.

Answer 1

Sei etwa z aus f(A^B). (Ich nehme mal ^ für "Schnittmenge")
Dann gibt es ein t aus A^B mit f(t)=z.
Dann ist t aus A und es ist t aus B.
Also ist f(t) in f(A), also z in f(A); denn f(t) ist ja gleich z.
Ebenso (da t aus B) ist f(t) (also z) in f(B).
Und damit z sowohl in f(A) als auch in f(B), also
in der Schnittmenge der beiden. qed.

Keine Gleichheit:
Nimm mal die Intervalle A=[-1;0] und B=[0;1] und die Quadratfunktion mit f(x)=x^2.
Dann ist f(A)=[0;1] und f(B)=[0;1] also die Schnittmenge auch [0;1].
Der Schnitt von A und B besteht aber nur aus dem einzigen Element 0
und damit ist die Bildmenge des Schnittes die Menge mit dem einzigen
Element f(0), also eine echte Teilmenge von [0;1].

Comments

Ok, vielen Dank. Heißt also f(A^B)  ƒ(A ∩ B) bei dir? 

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Oh ha, vertippt. Du hast es schon richtig interpretiert.

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Alles klar dann;)