Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=(-x-1)⋅e^-x

Question

b.) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion genau eine Nullstelle, eine Wendestelle und eine Extremstelle besitzt.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe :)

Bitte alle Schritte schreiben, zum Verständnis.

Answer 1

f(x) = e^{-x}·(- x - 1)

f'(x) = e^{-x}·x

f''(x) = e^{-x}·(1 - x)

Nullstellen kann es nur eine Geben. Warum? Kannst du das begründen? Kannst du auch begründen warum das eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel ist.

Answer 2

f(x) = (-x-1)e^{-x}

f'(x) = x*e^{-x}

f''(x) = (-x+1)e^{-x}

Bilde die Ableitung mittels Produktregel.

Nun Faktorweise anschauen: Die e-Funktion niemals 0 werden. Das heißt Du hast je nur noch einen weiteren Faktor der 0 werden kann. Du hast also je nur eine Nullstelle.

1 Nullstelle für f(x)

1 Nullstelle für f'(x) -> notw. Bed. Extremum

1 Nullstelle für f''(x) -> notw. Bed. Wendepunkt

Grüße

Answer 3

f ( x ) = ( -x -1 ) * e^{-x}
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren
0 ist. Die e-Funktion ist nie null. Also
(-x-1 ) = 0
x= -1
( -1  | 0 )

1.Ableitung
f ´( x ) = ( -1 ) * e^{-x} + ( -x -1 ) * e^{-x} *(-1)
f ´( x ) = ( -1) *e^{-x} * ( 1 + ( -x -1 ) )
f ´( x ) = ( -1) *e^{-x} * ( 1 + -x -1 ) )
f ´( x ) = ( -1) *e^{-x} * ( -x  )
f ´( x ) = x *e^{-x}
Extremwert
x *e^{-x}  = 0
x = 0
f ( 0 ) = ( -0 -1 ) * e^{-x}
f ( 0 ) = -1
( 0  | -1 )

2.Ableitung
f´´( x) = 1 * e^{-x} + x * e^{-x} * (-1)
f ´´ ( x ) = e^{-x} * ( 1 - x )
Wendepunkt
e^{-x} * ( 1 - x ) = 0
x = 1
f ( 1 ) = ( -1 -1 ) * e^{-1}
W ( 1  | -2 / e )