Urbild Menge bestimmen?

Question

Sei f(x)=x³+1, c(x)= cos x und

Phi: lN -> lN₀

_{n |--> Rest der bei der Division von n durch 3 bleibt.}

_{Bestimmen Sie: f}^-1({0}), f(lR), f([-1,0]), c^-1({0}), c(lR), c^-1([-3,-2]), Phi(lN), Phi^-1({0}), Phi^-1({1})

Ich habe nun bereits Probleme mit  _f^-1({0}) bezieht sich das Phi auch auf f(x)? Die einzige Zahl die x³+1=0 erfüllt wäre die -1, ist die hier gesucht? Was hat es mit f(lR) auf sich? Das wären doch einfach nur alle Werte, aus lR wieder oder nicht? f([-1,0]) hier sollten sich die Ergebnisse zwischen 0 und 1 befinden aber das kann ich ja so informell nicht angeben oder? Auch beim Rest verstehe ich nichts,

Answer 1

Ich habe nun bereits Probleme mit  _f^-1({0}) bezieht sich das Phi auch auf f(x)?   NEIN

Die einzige Zahl die x³+1=0 erfüllt wäre die -1, ist die hier gesucht?    JA

Was hat es mit f(lR) auf sich? Das wären doch einfach nur alle Werte, aus lR wieder oder nicht?  JA

f([-1,0]) hier sollten sich die Ergebnisse zwischen 0 und 1 befinden aber das kann ich ja so informell nicht angeben oder?   Doch:  das f ist ja monoton steigend, dh je größer x wird, desto größer wird auch f(x).

Also rechnest du aus f(-1)=0     und f(0))=1   Damit Bildmenge  [0;1].

Auch beim Rest verstehe ich nichts,

Rest bei der Division durch 3 kann nur 0 oder 1 oder 2 sein.

Also Bildmenge {o;1;2}

Phi^-1({0})= menge aller Vielfachen von 3 häufig kurz   3*IN geschrieben.

Phi^-1({1}=Menge aller nat.Zahlen, die beim Dividieren durch 3 den Rest 1 lassen

= {1;4;7;10;13;16;......}   Schöner:

={x aus IN | Es gibt y aus INo mit x=3*y+1}

Comments

Und wie genau löse ich zum Beispiel das mit f(lR)? Ich weiß, dass sich jede reelle Zahl so darstellen lässt, aber das muss ich ja auch zeigen.

Trotzdem schon einmal danke, hat etwas Klarheit gebracht

---

Versuche mal den Graphen von f zu plotten, dann siehst du

"der geht von -unendlich bis +unendlich"

Also Bildmenge auch IR.

---

Mhm also soll ich mit der Stetigkeit des Graphens der Funktion von -unendlich bis +unendlich argumentieren? Das würde zwar Funktionieren aber erscheint mir etwas "schmutzig"
Und Stetigkeit haben wir auch erst später fällt mir ein (ich wiederhole den Kurs)

---

Du kannst auch mehr formal argumentieren.

Bildmenge ist IR; denn ist y aus IR, dann gibt es drei Fälle

1.  y>1, Dann ist y-1>0 und es gibt die dritte Wurzel aus y-1.

Diese als x genommen erfüllt die Gleichung f(x)=y, also

gibt es zu jedem y>1 ein Urbild.

2. y=1 Dann gilt f(0)=y

3. y<1   Dann ist y-1 < 0 also 1-y >0

Also gibt es die 3. Wurzel aus 1-y

mit x= - 3.Wurzel aus (1-y) hat man auch in diesem

Fall ein x, dessen Bild das vorgegebene y ist.

Fazit:  Jedes y aus IR hat ein Urbild, also ist die

Bildmenge wirklich ganz IR

---

Könnte man auch sagen dass die Mengen von -unendlich bis unendlich reichen und da es eine Umkehrfunktion gibt und damit Bijektion herrscht, sind die Mengen äquivalent?