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Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen um Äquivalenzrelationen bzw. partielle Ordnungen handelt:

a) {(A,B) : A,BX \{(A, B): A, B \subseteq X , es existiert eine bijektive Abbildung f : AB} f: A \rightarrow B\} , wobei X X eine feste Menge ist.

b) {((a,b),(c,d))(Q×Q)2 : (a<c)(a=cbd)} \left\{((a, b),(c, d)) \in(\mathbb{Q} \times \mathbb{Q})^{2}:(a<c) \vee(a=c \wedge b \leq d)\right\}

c) {(f,g)QQ×QQ : xQ : f(x)g(x)} \left\{(f, g) \in \mathbb{Q}^{\mathrm{Q}} \times \mathbb{Q}^{\mathbb{Q}}: \forall x \in \mathbb{Q}: f(x) \leq g(x)\right\} , wobei QQ \mathbb{Q}^{\mathbb{Q}} die Menge aller Abbildungen von Q \mathbb{Q} nach Q \mathbb{Q} bezeichnet.

d) {(a,b)Z×Z : n \{(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: n teilt ab} a-b\} , wobei nN n \in \mathbb{N}

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1 Antwort

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a) ist eine Äquivalenzrelation. Ich nenne die zu untersuchende
Menge mal M.
Du musst drei Sachen beweisen:

reflexiv, d.h. Jedes Paar (A,A) gehört zu M.
Das ist klar, denn es gibt eine bijektive Abb von A nach A, z.B. die Identität,
jedem x wird zugeordnet x.

symmetrisch   wenn (A,B) dazu gehört, dann auch (B,A).
klar, bijektive Abb von A nach B hat immer auch bijektive
Umkehrabbildung von B nach A.

transitiv   wenn (A,B) und (B,C) dazu gehören muss auch (A,C) dazu gehören.
Ist so, denn Bijektion b1 von A nach B und Bijektion b2 von B nach C
werden hintereinander ausgeführt   b2 o b1 und es entsteht
eine Bijektion von A nach C.
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und wie würde man es bei den anderen dreien machen?

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