Umkehrfunktion bestimmen und Funktionsvorschrift: f(x) = ^n√(x^m)

Question

Seien \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( m<n \) und \( f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\( f(x)=\sqrt[n]{x^{m}} \)

Es sei bekannt, dass \( f \) auf \( [0, \infty) \) streng monoton wachsend ist.

a) Bestimmen Sie \( f([0, \infty)) \).

b) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich sowie das Bild der Umkehrfunktion \( f^{-1} \) an. Berechnen Sie die Funktionsvorschrift von \( f^{-1} \).

c) Begründen Sie, warum \( f^{-1} \) auf \( (0, \infty) \) differenzierbar ist. Bestimmen Sie \( \left(f^{-1}\right)^{\prime} \).

Mich irritert, dass ich keine Zahlen habe, sonder nur zwei Buchstaben und deshalb weiß ich auch nicht, wie ich damit die einzelnen Aufgabenteile bestimmen soll.

Answer 1

b) D = N

f^-1: 

y = x^{m/n}

y^{n/m} = x

Vertauschen von x und y:

y = x^{n/m} = f^{-1}


c)

f^{-1} ':

(n/m)*x^{n/m -1}

Comments

Fehlt ja nur noch a)

In der Bildmenge f( [0;unendlich) ) liegen doch alle Zahlen, die als

Funktionswerte herauskommen.

für 0 ist immer f(0) = 0, egal m und n ist.

und es ist doch  lim f(x) für x gegen unendlich auch unendlich egal was

m und n sind,  also ist die Bildmenge auch [0;unendlich)