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Aufgabe "Nach Art der Käferaufgaben":

Das Schulministerium plant, dass künftig für jeden Schüler der Qualifizierungsphase der individuelle \( (p, q) \)-Status erhoben und auf der Laufbahnbescheinigung ausgewiesen wird. Dabei ist \( p \) die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler, wenn er seine Hausaufgaben heute hat, sie auch in der nächsten Stunde haben wird. Entsprechend ist \( q \) die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler, wenn er seine Hausaufgaben heute nicht hat, sie auch in der nächsten Stunde nicht haben wird.

(a) Erstelle Übergangsdiagramm und Übergangsmatrix.

(b) Welche Werte im \( (p, q) \)-Status geben zu besonderer Sorge Anlass? Schreibe einen kurzen Beitrag zum Leitfaden für Eltern und Sorgeberechtigte.

(c) Es sei \( M \) die Übergangsmatrix zu \( p=\frac{2}{3} \) und \( q=0 \). Bestimme einen Kandidaten für die Grenzmatrix und gib Auskunft, ob die Theorie hier die Existenz einer Grenzmatrix garantiert.

(d) Was bedeuten die Einträge der Grenzmatrix im Sachzusammenhang?

(e) Jan war wieder unaufmerksam, und er hat die Matrix

\( M=\left(\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{array}\right) \)

gebastelt. Berechne zu seiner Matrix die inverse Matrix und die Eigenwerte und berechne die Eigenvektoren zum Eigenwert \( \frac{5}{6} \).

(f) Mit Hilfe der Eigenwerte kann man beurteilen, was für ein beliebiges \( \vec{x} \in \mathbb{R}^{2} \) aus \( M^{k} \vec{x} \) wird für \( k \rightarrow \infty \). Das macht die Eigenwerte auch so interessant. Ich will dich die Sache nicht ganz durchrechnen lassen, aber überlege dir, was aus \( M^{k} \vec{v} \) wird für \( k \rightarrow \infty \), wenn \( \vec{v} \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda=\frac{5}{6} \) ist. Wie \( \vec{v} \) genau aussieht, ist völlig egal; es kommt nur auf das \( \lambda \) an.

von

1 Antwort

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Es wäre hilfreich, wenn du erklärst, was du nicht kapierst.

Wir haben zwei Zustände

1. Der Schüler hat die Hausaufgaben

2. Der Schüler hat die Hausaufgaben nicht.

Der Wechsel von Stunde zu Stunde kann dann wie folgt beschrieben werden:

Bild Mathematik

von 440 k 🚀
Danke. Wie würde man denn die Matrix interpretieren? Das jemand der die hat am Nächsten tag nicht hat? Was müsste ich bei c) machen? Etwas bestimmtes rechnen? 

Die Matrix gibt alle Übergänge die Entstehen mit ihren Wahrscheinlichkeiten an. du siehst eventuell die vier Pfeile im Prozessdiagramm. Jeder Pfeil wird durch einen Eintrag in der Matrix repräsentiert. Versuche mal zu ergründen wo die Pfeile beginnen die in einer Spalte stehen und versuche zu ergründen wo die Pfeile enden, die in einer Zeile stehen.

Stelle dann eine Matrix für p = 2/3 und q = 0 auf und bestimme mal ein paar Potenzen dieser Matrix.

M * M = M^2

M^2 * M^2 = M^4

M^4 * M^4 = M^8 

Was fällt dir auf ?

Gibt es eventuell eine Matrix, an den sich die Werte annähern?

Ich kann am Taschenrechner höchstens hoch 3 machen,  das andere klappt nicht da steht immer syntaxfehler. Ist die Matrix richtig, wenn die fast so ist wie die von e) ausser das statt 5/12 eine 1 hin muss?

Ja genau. Und dann nimmst du Potenzen. Du kannst auch mehrfach quadrieren

M^8 = ((M^2)^2)^2

Lieben Dank das probiere ich gleich mal aus. 

Was bedeutet die Grenzmatrix im Sachzusammenhang also  bei d) . Das es auf lange sicht so bleibt mit den HUsaufgaben oder wie? 

[2/3, 1; 1/3, 0]^∞ ≈ [0.75, 0.75; 0.25, 0.25]

Das bedeutet das das Schüler auf lange Sicht in 75% die Hausaufgaben hat und in 25% der Fälle nicht.

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