Zeigen Sie (mit Satz von de Moivre), dass (cos Φ + i sin Φ)^{n} = cos nΦ + i sin nΦ

Question

Zeigen Sie mit dem Satz von de Moivre:

Sei \( \phi \in \mathbb{R} \) und \( n \in \mathbb{N}_{0} \)

a) Zeigen Sie, dass \( (\cos \phi+i \sin \phi)^{n}=\cos n \phi+i \sin n \phi \)

Hinweis: Additionstheoreme.

b) Bestimmen Sie alle \( a \in \mathbb{C} \) mit \( a^{n}=1 \)

Comments

Ist das nicht der Satz von de Moivre???

a) Ich würd sagen Eulerformel oder Induktion und Additionstheoreme.

Answer 1

Am einfachsten ist es wenn Du folgendes benutzt.

$$  e^{i\varphi}=cos(\varphi)+isin(\varphi) $$

Dann gilt

$$  \left( e^{i\varphi} \right)^n=e^{i\cdot n\cdot \varphi}=cos(n\varphi)+isin(n\varphi) $$