Lagrange-Interpolation: Sei k ein Körper und seien ai, i=1, …, n ∈ K paarweise verschieden.

Question

Lagrange-Interpolation

Sei $k$ ein Körper und seien $a_{i}, i=1, \ldots, n \in K$ paarweise verschieden. Seien $\ell_{i}(x)=\frac{\pi_{j \neq i}\left(x-a_{j}\right)}{\pi_{j \neq i}\left(a_{i}-a_{j}\right)}$ für $i=1, \cdots n$

Zeigen Sie:

1) $\ell\left(a_{j}\right)=\delta_{i j}$ (dabei ist $\delta_{i j}$ das Kroneckersymbol)

2) Sei $p$ ein Polynom von Grad deg $p \leqslant n-1$, dann ist $p=\sum \limits_{j=1}^{n} p\left(a_{j}\right) \ell_{j}$

3) $l_{1}, \ldots, ln$ ist eine Basis von $K[X]_{\leqslant n-1}$

4) Sei $a_{i} = i$ für $i = 1, \cdots, 4$. Bestimmen Sie $l_{1}, \cdots, l_{4}$ zu diesen Werten. Schreben sie die Polynome $1, x, x^{2}, x^{3}$ als Linearkombinationen von $l_{1} \ldots l_{4}$.

Answer 1

1) mach dir am besten mal ein Beispiel etwa mit n=3
dann sehen die so aus

L1(x) =   (x-a2)(x-a3) / (a1-a2)(a1-a3)    und
 L2(x) =   (x-a1)(x-a3) / (a2-a1)(a2-a3) und
 L3(x) =   (x-a1)(x-a2) / (a3-a1)(a3-a3) und

und wenn du jetzt z.B.  L1(a1) berechnest, dann hast du im Zähler in den
Klammern die gleichen Werte wie im Nenner und wenn du
L1( a2) berechnest hast du im Zähler eine Null, und bei L1(a3) auch.
Diese Faktoren hat der kluge Herr Lagrange also so aufgebaut, dass entweder
im Zähler das gleiche rauskommt wie im Nenner, oder aber Null, wenn die
ai einsetzt, die nicht zum gleichen Index i gehören wie Li.

vielleicht machst du jetzt erst Nr4 !, das würde so anfangen
L1(x) = (x-2)(x-3)(x-4)  /  (1-2)(1-3)(1-4)   
und z.B.um x^2 als LK von L1 bis L4 darzustellen brauchst du nur für die ai jedesmal
p(ai) mit p(x)=x^2 auszurechnen , weil du ja halt x^2 darstellen willst.
das gibt  p(1)=1   p(2)=4   p(3)=9   p(4)=16
also 
x^2 =  1* L1(x)   +   4* L2(x)    +   9*L3(x)   +  16* L4(x)


2) wenn du jetzt einPolynom hast und zu jedem ai den Wert p(ai) ausrechnest, und den
mit dem entsprechende li multiplizierst, hast du bei den einzelnen Summanden nicht mehr
0 oder 1 als Ergebnis, sondern eben  0 oder p(ai)
dann hast du z.B. bei   p(a1) =   p(a1) + 0 +0 +0 +0 ...
und bei p(a2) =  0 + p(a2) + 0 +0  +0  etc.

3)  Anzahl stimmt ja, musst also nur zeigen, dass lie Li linear unabh. sind.