f : X → R injektiv, Metrik ρ auf X

Question

1. Hallo :)

   darauf hätte ich gerne eine Antwort, eine Ähnliche Frage steht schon da, allerdings mit einigen Fehlern, und ohne Antworten.

   (a) Sei X eine nichtleere Menge und f : X → R injektiv. Zeigen Sie, dass durch ρ(x, y) := |f(x) − f(y)| (x, y ∈ X) eine Metrik ρ auf X erklärt ist. 

   (b) Sei X := (0,∞) und f(x) := 1/x. Warum ist f zur Metrikbildung gemäß (a) geeignet? Untersuchen Sie, ob (X, ρ) vollständig ist.

   (c) Sei (X,ρ) wie in (b). Geben Sie die "Kugeln" B(1/2,1) und B(2,1) als Intervalle in (0,∞) an.

Answer 1

(a) Sei X eine nichtleere Menge und f : X → R injektiv. Zeigen Sie, dass durch ρ(x, y) := |f(x) − f(y)| (x, y ∈ X) eine Metrik ρ auf X erklärt ist. 

positiv definit:          p(x,y) = |f(x) − f(y)|  ≥ 0 , weil Betrag nie negativ

und wenn  |f(x) − f(y)|=0 dann ist f(x)=f(y) und wegen der Injektivität also x=y.

symmetrisch :          |f(x) − f(y)| =  |f(y) − f(x)|  ist wohl klar.

Dreiecksungl:   p(x,y) ≤ p(x,z) + p(z,y) also zu zeigen

                    |f(x) − f(y)|   ≤      |f(x) − f(z)|   +     |f(z) − f(y)|  

aber     
  |f(x) − f(y)|  =    |f(x) +f(z) - f(z) − f(y)|

                    =       |f(x) - f(z)   + f(z) − f(y)|         

                     ≤            |f(x) - f(z)|   +| f(z) − f(y)|      Dreiecksungl. in IR.

                                                q.e.d.

(b) geeignet, weil injektiv.

(c) Sei (X,ρ) wie in (b). Geben Sie die "Kugeln" B(1/2,1) und B(2,1) als Intervalle in (0,∞) an.

x=1/2 suche y mit p(x,y) ≤ 1  also  | 1 / (1/2)  -   1 / y   |  ≤ 1

| 2 -   1 / y   |  ≤ 1

| (2y -   1)  / y   |  ≤ 1

1. Fall 2y-1 ≥ 0 dann   (2y -   1)  / y    ≤ 1

(2y -   1)     ≤ 1* y    denn y > 0 ist wegen y aus  (0,∞) klar.

                                                  y      ≤ 1    zusammen mit 2y-1  ≥ 0, also  2y  ≥ 1 ,  y   ≥ 1/2

ist das der Bereich [ 1/2 ; 1]

zweiter Fall   2y-1 < 0 dann    (-2y +   1)  / y    ≤ 1

-2y +  1)     ≤ 1* y 

1     ≤ 3* y 

1/3           ≤ y  zusammen mit  y < 1/2

also    y aus  [ 1/3 ; 1/2 [  Also ist die gesamte Kugel das Intervall [ 1/3 ; 1].

Die andere geht so ähnlich.