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Hi, Die Aufgabe lautet:
Bestimme die Winkelsymmetrale w des rechten Winkels und gib die Koordinaten des Punktes S an , in dem diese Winkelsymmetrale die Hypotenuse schneidet.
Darunter versteh ich null! Und was genau ist eine Winkelsymmetrale?
A(-10/-9/-4) B(11/5/-4) C(-1/9/-10) P(-11/-5/10)
von
Winkelsymmetrale hab ich auch noch nie gehört.

w wird in der Geometrie oft für Winkelhalbierende verwendet. Links und rechts von entsteht so Symmetrie in der Ecke.

Ist P die Lösung oder was hat P mit dem Dreieck zu tun?
Ist beides dasselbe, Lu.

Winkelsymmetrale und Winkelhalbierende ;).

 

 

Grüße
@ Unknown: Wie würde man denn eine winkelhalbierende Ebene nennen?
Nicht, dass ich mich erinnere, das letzte Mal mit winkelhalbierenden Ebenen gespielt zu haben, aber da würde mir kein anderer Begriff einfallen.

1 Antwort

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Beste Antwort

Suche erst mal den rechten Winkel. Im Normalfall wäre der ja bei C

A(-10/-9/-4) B(11/5/-4) C(-1/9/-10)                   P(-11/-5/10)

Vektoren CA und CB

CA = (-10 - (-1) | -9 - 9 | -4 - (-10)) = (-9| - 18| 6)        1/3 CA = (-3| -6|2)

CB = (11 - (-1) | 5 - 9 | -4 - (-10)) = (12| - 4| 6)            1/2 CB = (6|-2|3 )

Skalarprodukt: CA * CB = -108 + 72 + 36 = 0.

Also rechter Winkel in C.

Jetzt die Richtung der Winkelhalbierenden.  

|1/3 CA| = √(9 + 36 + 4) = 7

|1/2 CB| = √(36 + 4 + 9) = 7

Zufällig sind beide Vektoren gleich lang. Wenn das nicht so wäre, würde man jetzt das kgV bestimmen.

Die Richtung der Winkelhalbierenden ergibt sich als Summe dieser beiden gleich langen Vektoren (Skizziere das mit Rhombus!)

v = (-3+6|-6-2|2+3) = (-3|-8|5)

Parameterform der gesuchten Winkelhalbierenden

w:  r(-1/9/-10)  + t(-3|-8|5)

Parameterform der Geraden durch A und B

A(-10/-9/-4) B(11/5/-4) 

a: r = (-10|-9|-4) + s(21|14|0)                    

oder mit kürzerem Richtungsvektor:

a: r = (-10|-9|-4) + s(3|2|0)   

Jetzt gleichsetzen

 r = (-1/9/-10)  + t(-3|-8|5)  =  (-10|-9|-4) + s(3|2|0)    

komponentenweise

x = -1 -3t = -10 + 3s

y= nur zur Kontrolle nötig

z = -10 + 5t = - 4

Aus der letzen Gleichung t berechnen

-10 + 5t = - 4

5t = 6

t = 6/5

t in Parametergleichung für w einsetzen → S

 0S = (-1/9/-10)  +  6/5 (-3|-8|5) = (- 4.6| -0.6| -4)

Resultat: S(-4.6|-0.6|-4)

Das ist jetzt wegen der Kommastellen nicht so schön. Gut möglich, dass ich mich irgendwo verrechnet habe. Rechne nochmals nach und korrigiere gegebenenfalls. 

Weitere Kontrollmöglichkeit: In -1 -3t = -10 + 3s noch s bestimmen und S via die andere Geradengleichung noch berechnen.

von 162 k 🚀
Jetzt hab ich aber eine Frage, woher bestimme ich, wo die Hypotenuse ist? Kann man das berechnen oder sollte man das besser zeichnen??
Wenn man oben berechnet hat, dass der rechte Winkel in C ist, ist die Hypotenuse automatisch c, dh. (AB). Eine Skizze kann nie schaden.

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