Untersuche den Graphen auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte und Wendepunkte.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-3 x^{2}+9 x$.

a) Untersuche den Graphen von $\mathrm{f}$ auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte und Wendepunkte. Zeichne den Graphen für $0 \leq \mathrm{x} \leq 8$.

b) Berechne die Fläche, die die Tangente mit dem Berührpunkt B (2/8) mit dem Graphen von f einschließt.

c) Für $\mathrm{k} \in \mathbb{R}$ ist $\mathrm{f}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x})=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{3}-\frac{3}{8}(\mathrm{k}+6) \mathrm{x}^{2}+{ }_{2}^{9} \mathrm{k} \mathrm{x}+\left(27-\frac{27}{2} \mathrm{k}\right)$.

Zeige, dass die Funktion $\mathrm{f}$ mit $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{3}-3 \mathrm{x}^{2}+9 \mathrm{x}$ zu dieser Funktionenschar $\mathrm{f}_{\mathrm{k}}$ gehört. Zeige ferner, dass alle Funktionsgraphen von $\mathrm{f}_{\mathrm{k}}$ durch den Punkt $\mathrm{P}(6 \mid 0)$ verlaufen und dass sie dort einen Extrempunkt haben, falls $\mathrm{k} \neq 6$ ist. Untersuche den Fall $\mathrm{k}=6$.

d) Zeige, dass der Graph von $\mathrm{f}_{\mathrm{k}}$ an der Stelle $\mathrm{k}$ einen weiteren Extrempunkt hat, falls $\mathrm{k} \neq 6$ ist und dass alle Punkte $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{k} \mid \mathrm{f}_{\mathrm{k}}(\mathrm{k})\right)$ auf dem Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades liegen.

Answer 1

Was machst Du denn dabei mit einem CAS? Setze mal $k=2$ ein und der erste Teil ist erledigt.

Comments

die Funktionen habe ich schon Gleichgesetzt und bekomm k=2 raus somit gehört Fk(x) zu F(x) nur ich weiss nicht genau was ich beim Etrempunkt machen soll 

Answer 2

fk(x) = 1/4·x³ - 3/8·(k + 6)·x² + 9/2·k·x + (27 - 27/2·k)

für k = 2

fk(x) = 1/4·x³ - 3/8·(2 + 6)·x² + 9/2·2·x + (27 - 27/2·2) = x³/4 - 3·x² + 9·x

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fk(6) = 1/4·6³ - 3/8·(k + 6)·6² + 9/2·k·6 + (27 - 27/2·k) = 0

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fk'(x) = 3/4·x² - 3/4·(k + 6)·x + 9/2·k

fk'(6) = 3/4·6² - 3/4·(k + 6)·6 + 9/2·k = 0

fk''(x) = 3/2·x - 3/4·(k + 6)

fk''(6) = 3/2·6 - 3/4·(k + 6) = 3·(6 - k)/4 für k < 6 ein Tiefpunkt und für k > 6 ein Hochpunkt. Für k = 6 würde ich dann hier wohl den Wendepunkt der Funktion erwarten. Ich gehe davon aus das du dieses selber zeigen kannst.