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kann mir jemand hier weiterhelfen, komme da absolut nicht dahinter wie ich diese Aufgabe lösen soll ?!

von

Vom Duplikat:

Titel: Integral berechnen mittels Riemannschen Summen

Stichworte: integral,summe

Bild Mathematik

kann mir jemand hier weiterhelfen, komme da absolut nicht dahinter wie ich diese Aufgabe lösen soll ?!

Vom Duplikat:

Titel: Integral mittels Riemannscher Summen berechnen.

Stichworte: summe,riemann,integral

Einen schönen guten Abend.
Ich sitze seit ein paar Tagen an einer Probeklausur und kommt bei der Aufgabe einfach nicht weiter:
$$Aufgabe:\\ Berechne\quad \overset { b }{ \underset { 0 }{ \int { u^{ 3 }\quad du }  }  } \quad für\quad b>0\quad mittels\quad der\quad Riemannschen\quad Summen.\\ Tipp:\quad Es\quad darf\quad ohne\quad Beweis\quad verwendet\quad werden,\quad dass\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 3 }\quad =\quad \frac { { n }^{ 2 }{ (n+1) }^{ 2 } }{ 4 }  } gilt.$$


Bedanke mich im Voraus für eure Hilfe

EDIT: a zu b gemacht. Geschlossen, da erledigt.

u^3 mit a>0? Wo ist dein a?

Es sollte u> 0 lauten sry für die Verwirrung

Aufgabe hat sich erledigt, habe die Lösung

Es sollte u> 0

Vermutlich eher b>0

Ja, sry ich bin gerade etwas neben der Spur,aer hat sich ja erledigt

Bisher war es halt schon mal a und nicht b. Habe 3 identische Fragen nun verschmolzen.

2 Antworten

+1 Punkt

Hi,

zerteile das Intervall \( [0,a] \) durch die Punkte \(x_k = k\frac{a}{n} \) mit \( k \in \{0,1,...,n\} \).

Die Intervalllängen zwischen den Punkten sind immer gleich: \( \Delta x_k:= x_{k} - x_{k-1} = \frac{a}{n} \).

Dann kannst du das Integral als Grenzwert der Riemann-Summe berechnen durch:

$$ \int \limits_0^a x^3dx = \lim \limits_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n x_k^3 \Delta x_k $$

Gruß

von 24 k
+1 Punkt
Teile das Intervall von 0 bis a in n Teile, dann hast du jeweils als rechten Punkt des i-ten Teilintervalls
i*(a/n) mit i aus 1..n. Da f monoton steigend ist, ist das Max. von f an jeweils diesen rechten Randpunkten
und damit hast du für die Obersumme
f(1*(a/n))*(a/n) + f(2*(a/n))*(a/n)  + f(3*(a/n))*(a/n)  + f(4*(a/n))*(a/n) + .....+  + f(n*(a/n))*(a/n)
oder mit dem Summenzeichen
$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ f(i*(a/n))*(a/n) } $$ =
$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 3 }*{ (a/n) }^{ 3 }*(a/n) } $$
und hier kannst du die von i unabhängigen Faktoren rausziehen und hast
$${ (a/n) }^{ 3 }*(a/n)\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 3 } } $$
$${ { a }^{ 4 }/n }^{ 4 }*\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 3 } } $$
und jetzt nimmst du die gegebene Formel für die Summe
$$\frac { { a }^{ 4 } }{ { n }^{ 4 } } *\frac { { n }^{ 2 }{ (n+1) }^{ 2 } }{ 4 } $$
und bekommst als Grenzwert für n gegen unendlich heraus   a^4/4.

Ähnlich mit der Untersumme.
von 165 k

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