Untersuchen Sie, welche der folgenden Familien im Vektorraum V linear unabhängig sind. (Unterräume von Vektoren)

Question

Aufgabe:

a) Es sei \( W \) ein Vektorraum, und es seien \( U, V \) Unterräume von \( W \). Zeigen Sie: Genau dann ist \( U \cup V \) ein Unterraum von \( W \), wenn \( U \subseteq V \) oder \( V \subseteq U \) gilt.

b) Untersuchen Sie, welche der folgenden Familien im Vektorraum \( V \) linear unabhängig sind:

(i) \( V=K^{K} \), wobei \( K \) der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel I. \( 4.5 \) ist, \( \left(v_{i}: K \rightarrow K: x \mapsto x^{i}\right)_{i \in \mathbb{N}_{0}} \)

(ii) \( V=\mathbb{R}^{\mathbb{R}},\left(\exp ,\left(p_{i}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto x^{i}\right)_{i \in \mathbb{N}_{0}}\right) \),

(iii) \( V=\mathbb{R}^{] 0, \infty[} \) und \( \left(\left.\sin \right|_{ ]0, \infty[},\left.\cos \right|_{ ]0, \infty[}, \ln \right) . \)

Answer 1

a) U Teilmenge von V oder V Teilmenge von U folgt
U ∪ V = U oder   U ∪ V = V also ist die Vereinigung auch ein Unterraum.

umgekehrt:
ist weder U Teilmenge von V noch V Teilmenge von U folgt
dann gibt es ein v aus V mit v nicht in U
und eine u aus U mit u nicht in v

dann ist u+v weder in U noch in V, denn wäre
u+v aus U, dann ist (da mit u auch -u in U)  
     (u+v) + ( -u) auch aus U,
also   v aus U im Widerspruch zur Annahme,
ebenso führt
u+v aus V zum Widerspruch.

Also ist u+v weder in U noch in V, also nicht in U ∪ V

wäre U ∪ V ein Unterraum, dann müsste aber u+v aus U ∪ V sein.

Comments

Bin mir bei b) nicht so sicher.

Bei(i)

denke ich mal, das sind die v0 : x → x^0 = 1 ?

                                               v1: x → x^1 =  x

                                             v2: x → x^2 =  x   weil im Körper mit zwei El. gibt es nur o und 1
                                                                             und 0^2=0 und 1^2 = 1  also x^2 = x

                                             bei v3, v4 etc auch da x^n = x

                         und eine Linearkombination der Folge 0,0,0,0,,...,0

              (Das ist ja wohl der 0-Vektor in diesem Raum) wäre ja

                       0=     0*vo + 1*v1 + 1*v2 + 0*vi für i>2     (weil 1+1=0, also auch x+x=0)

also gibt es eine Lin.kom. mit zwei Koeffizienten ungleich 0, also lin.abh.

(ii) meine ich auch lin abh. da exp = summe von i=0 bis unedl. pi/ i!

also wäre   -1*exp + 1*p0 + 1/1!*p1 + 1/2!*p2 + 1/3!*p3 *....

eine Linkomb. des Nullvektors mit Koeffizienten ungleich 0.

(iii) hier tippe ich auch lin. unabh., da eine Darstellung

a* sin + b*cos bei der nicht a=b=0 ist, immer eine periodische Funktion erzeugt,

aber ln nicht periodisch ist. Deshalb ist bei einer Darstellung

a* sin + b*cos + c*ln  also     a* sin + b*cos = - c*ln jedenfalls c = 0, falls nicht a und b gleich Null sind,

sind aber a=b=0 wäre ja nur 0 = -c*ln(x) für alle x>0 übrig, also auch c=0.

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Stimmt nicht. (ii) ist lin. unabhängig.
Eine unendliche Menge heißt nämlich linear unabhängig, wenn alle endlichen Teilmengen linear unabhängig sind. Und das ist hier der Fall.