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Die Funktion f sei auf ℝ differenzierbar, es sei f(0)≠0 und mit einer positiven Konstante c gelte f'(x)>1/c für alle x∈ℝ. Ich soll beweisen, dass f zwischen 0 und -cf(0) genau eine Nullstelle besitzt.

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Hi,
zuerst zur Eindeutigkeit der Nullstelle. Die Funktion f(x) f(x) ist streng monoton wachsend, da die erste Ableitung >0 > 0 ist. Damit ist die Funktion injektiv umd damit kann es nur eine Nullstelle geben, denn ansonsten gäbe es ja zu einem Bildpunkt mehrere Punkte aus dem Definitionsbereich von f f was ein Widerspruch wäre.

Jetzt zur Existenz der Nullstelle.
betrachte dazu den Differenzenquotient
f(x)f(0)x \frac{f(x)-f(0)}{x} Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt (1)f(x)f(0)x=f(ξ)>1c (1) \quad \frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(\xi) > \frac{1}{c} für ein ξ[0,x] \xi \in [0,x]

Da f f   streng monoton wachsend ist, kann eine Nullstelle bei f(0)>0 f(0) > 0 nur links von 0 0 liegen, also muss x<0 x < 0 gelten. MIt dem gleichen Argument gilt für f(0)<0 f(0) < 0 das für die Nullstelle x>0 x > 0 gilt.

Für f(0)>0 f(0) > 0 gilt wegen (1) f(x)<f(0)+xc f(x) < f(0) + \frac{x}{c} weil x<0 x < 0 gilt. Setzt man für x=cf(0) x = -c f(0) ein, folgt
f(cf(0))<f(0)f(0)=0 f(-c f(0) ) < f(0) - f(0) = 0 Also gibt es nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen einen Wert η[cf(0),0] \eta \in [-c f(0), 0 ] mit f(η)=0 f(\eta) = 0
Mit der gleichen Argumentation beweist man für f(0)<0 f(0) < 0 das es einen Wert ζ[0,cf(0)] \zeta \in [0, -c f(0) ] gibt für den gilt, f(ζ)=0 f(\zeta ) = 0
Damit ist alles bewiesen qed.
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