Hi,
zuerst zur Eindeutigkeit der Nullstelle. Die Funktion
f(x) ist streng monoton wachsend, da die erste Ableitung
>0 ist. Damit ist die Funktion injektiv umd damit kann es nur eine Nullstelle geben, denn ansonsten gäbe es ja zu einem Bildpunkt mehrere Punkte aus dem Definitionsbereich von
f was ein Widerspruch wäre.
Jetzt zur Existenz der Nullstelle.
betrachte dazu den Differenzenquotient
xf(x)−f(0) Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt
(1)xf(x)−f(0)=f′(ξ)>c1 für ein
ξ∈[0,x]Da
f streng monoton wachsend ist, kann eine Nullstelle bei
f(0)>0 nur links von
0 liegen, also muss
x<0 gelten. MIt dem gleichen Argument gilt für
f(0)<0 das für die Nullstelle
x>0 gilt.
Für
f(0)>0 gilt wegen (1)
f(x)<f(0)+cx weil
x<0 gilt. Setzt man für
x=−cf(0) ein, folgt
f(−cf(0))<f(0)−f(0)=0 Also gibt es nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen einen Wert
η∈[−cf(0),0] mit
f(η)=0Mit der gleichen Argumentation beweist man für
f(0)<0 das es einen Wert
ζ∈[0,−cf(0)] gibt für den gilt,
f(ζ)=0Damit ist alles bewiesen qed.