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Aufgabe: Berechnen Sie den Grenzwert $$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ (n+k) }  }  $$


Als erstes hätte ich die Summe aufgeteilt:

$$ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ n } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ k } $$


Wenn ich die erste Summe dann versuche anders zu schreiben, erhalte ich insgesamt:

$$ \frac { { n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ k } $$


Ich bin mir aber nicht sicher wie ich die zweite Summe anders schreiben kann.

In der Lösung ist folgendes angegeben:

$$ \frac { { n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \frac { n(n+1) }{ 2 } $$

Leider bin ich wohl zu doof auf diesen Wert zu kommen. Kann mir das jemand erklären wie der Dozent die zweite Summe in den oben stehenden Term (nach dem '+' Zeichen) wandelt?

von
Was hat das mit Grenzwerten zu tun?

Habe die Frage aktualisiert.

3 Antworten

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Beste Antwort

Die Gausssche Summenformel darf man denke ich auswendig wissen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel

von 299 k
+2 Daumen
Die Zweite Summe ist die Gaußsche Summenformel:
Du hast doch 1+2+3+4+5+6...+n und das ist grade n(n+1) *1/2

Siehe hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel
von 8,3 k
+1 Daumen
$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ (k)=\frac { { n }^{ 2 }+n }{ 2 }  } $$Beschreibt die Summe der ersten n aufeinenanderfolgenden natürlichen Zahlen. Diese Formel wird auch als Gaußsche Summenformel bezeichnet und beweise für diese gibt's im Netz genügend ;)
von 4,4 k

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