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Gibt es auch einen anderen Weg als es einfach für jedes Element durchzuprobieren?

von

Es kann auch helfen, wenn du weisst, wie viele Elemente die Gruppe hat.

Mach dir beim Durchprobieren dazu mal Gedanken.

Als Erstes ist ja eine zyklische Gruppe  abelsch, d.h. wenn Du zwei Elemente x und y in Deiner Gruppe G findest mit xy und yx verschieden, dann kann G nicht zyklisch sein.

Ist die Gruppe G abelsch und endlich, sagen wir G hat n Elemente, dann kann man den Hauptsatz der endlichen abelschen Gruppen anwenden. Insbesondere falls n quadratfrei ist, d.h. wenn in der Primfaktorzerlegung von n keine Primzahl zweimal vorkommt, dann ist G zyklisch. Ist n nicht quadratfrei, dann kann man erst einmal nichts weiter sagen und Du musst Dir die Elemente genauer ansehen. Beispielsweise sind \(\mathbb{Z}_4\) und \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) zwei Gruppen mit vier Elementen, aber nur die Erste ist zyklisch.

Ist G abelsch und unendlich, dann wäre diese zyklisch genau dann wenn sie isomorph zu \(\mathbb{Z}\) ist.

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