Extremstellen von Logarithmusfunktion: ( ln(x))^2

Question

Wie löse ich( ln(x))^2 nach x auf? 

Wie löse ich 2/x*ln(x) nach x auf?

Answer 1

ein Produkt ist gleich 0 wenn einer der Faktoren gleich 0 ist.

Gruß

Answer 2

( ln(x))^2 

Nach x auflösen kannst du nur Gleichungen. Z.B.

( ln(x))^2 = 0       

ln(x) * ln(x) = 0

ln(x) = 0 genau dann, wenn x=1. Solltest du einfach wissen.

==> x= 1.

Alternative

ln(x) = 0        | e^....

e^ (ln(x)) = e^0 = 1

x = 1

Comments

Also wenn man ln(x) nach x auflöst ist es 1? 

In dieser Aufgabe ist es aber doch ln(x)^2, ist es dann trotzdem 1? 

Genau so wie bei der Alternative. Wieso wurde da nur 1*ln(x) gleich null gesetzt? Wir haben doch ln(x)^2 ? 

Tut mir echt Leid, weil ich so viel frage aber es ist abiturrelevant

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"Also wenn man ln(x) nach x auflöst ist es 1? "

     Wie gesagt, kann man gar nichts auflösen, wenn kein Gleichheitszeichen vorhanden ist. Ich habe oben alle Lösungen von  ( ln(x))² = 0         bestimmt.

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Mir bringen aber Lösungen nicht wenn ichs nicht kapiere!

Du hast ln(x) bestimmt, meine funktion lautet aber ln(x)^2. das ist mein Problem...

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Was ist denn 0^2 ?

Welche andere Zahl könnte im Quadrat denn 0 geben?

Zusatzfrage: 

Warum willst du denn (ln(x))^2 = 0 überhaupt auflösen? Du scheinst Extremstellen zu suchen. Was ist denn überhaupt die Funktionsgleichung?

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0^2 ergibt doch 0?

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Ja genau!

Solltest du tatsächlich 

(ln(x))^2 = 0 lösen müssen,

musst du nur dafür sorgen, dass ln(x) = 0 ist. 

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Also ist es bei 2/x*ln(x)  auch so? 

Also ist da ln(x) wieder 1? 

Und 2/x ist ungleich null oder?

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Also ist es bei 2/x*ln(x)=0  auch so? 

Also ist da ln(x)=0 wieder x=1? 

Und 2/x ist ungleich null oder? 

ja. 2/x kann nicht 0 sein.

==> für x=1 gilt 

2/1*ln(1)=0

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Jaaa ok, so langsam wird mir hier einiges klar:D die funktionsgleichung lautet: f(x)= (ln(x))^2

Stimmt es , dass bei x=1 ein Tiefpunkt ist? 

Und bei -2/x^2*ln(x)+2/x*1/x wird dir sache auch komplizierter. Ich muss das auch nach x auflösen für die wendestelle, jeodoch ist die funktion ziemlich lang:D

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Das Minumum bei P(1,0) wird hier bestätigt:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%28ln%28x%29%29%5E2

Das ist doch nicht so schwer. 

-2/x²*ln(x)+2/x*1/x = 0

-2ln(x)/x²*ln(x)+2/x^2  = 0

(2 - 2ln(x))/ x^2 = 0

2 = 2ln(x)

1 = ln(x)    | e^{…}

e^1 = x 

Wendestelle x = e

Wendepunkt bei

(ln(e))^2 = 1^2 = 2

W(e , 2) 

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Leider öffnet sich der link nicht weil ich die App nicht habe:/

Ich hatte es ausgeklammert: 2/x^2(1-ln(x))=0. 

wie müsste ich das dann lösen? 

Das erste 2/x^2 ist ja wieder ungleich nul und dann hätte ich noch 1-ln(x)=0. wie mache ich das dann?

Dein Rechenweg habe ich nicht ganz verstanden ab 2-.... Deswegen.

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Dein Weg ist auch ok. (Am Computer brauchst du keine App für meinen Link)

Nimm direkt dein:

 1-ln(x)=0.

1 = ln(x)   | e^{___}

e^1 = e^ (ln(x)) = x

x = e.

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Was hat diese linie bei e in Zeile 2 zu bedeuten? Und wie ist das in der dritten Zeile e^ln(x) gemeint? Da kann man doch nichts rechenen oder weil es doch für x keine zahl gibt?

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Um den ln vom x wegzubringen benutzt man entweder die Definierende Beziehung

hier: https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus

oder das vierte Logarithmengesetz etwas weiter unten.

Dort siehst du, dass e^ (ln(x)) = x.

Nur musst du e^   auf beiden Seiten des "=" anwenden.

Dazu: Unbedingt Übungsaufgaben zu Logarithmen lösen. Das hat ja nichts mit dem Ableiten zu tun. Du brauchst es aber trotzdem.

Answer 3

Hier mal die ersten drei Ableitungen, teilweise mit der Quotientenregel berechnet:
$$ f(x) = \left(\ln(x)\right)^2 \\\,\\ f'(x)=2\cdot\frac{\ln(x)}{x} \\\,\\ f''(x)=2\cdot\frac{1-\ln(x)}{x^2} \\\,\\ f'''(x)=2\cdot\frac{-3+2\ln(x)}{x^3}$$