Untersuchen Sie die Funktion fa auf Extrema und Wendepunkte (Kurvenschar)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Kurvenschar $f_{a}(x)=x+a e^{-x}, a \neq 0$.

a) Untersuchen Sie die Funktion $f_{a}$ auf Extrema und Wendepunkte. Begründen Sie, weshalb es nur für positive Werte von a Extremalpunkte gibt.

b) Welche Scharkurve $f_{a}$ besitzt ein auf der $x$-Achse liegendes Extremum und welche, Scharkurve hat ihr Extremum auf der $\mathrm{y}$-Achse?

c) Alle Extremalpunkte der Schar liegen auf ein und derselben Geraden $\mathrm{g}$. Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?

d) Skizzieren Sie die Graphen der Scharkurven $\mathrm{f}_{1}, \mathrm{f}_{0,5}$ und $\mathrm{f}_{-1}$ für $-2 \leq \mathrm{x} \leq 3$.

e) Welche Ursprungsgerade $h_{a}(x)=m x$ berührt den Graphen von $f_{a}$ ?

Berechnen Sie die Berührstelle sowie die Geradengleichung von $\mathrm{h}_{\mathrm{a}}$.

Comments

Hier noch ein Graph für Aufgabe d).

Answer 1

Gegeben ist die Kurvenschar $f_{a}(x)=x+a e^{-x}, a \neq 0$.                  a) Untersuchen Sie die Funktion $f_{a}$ auf Extrema und Wendepunkte. Begründen Sie, weshalb es nur für positive Werte von a Extremalpunkte gibt.

$f_{a}(x)=x+a e^{-x}$

$f'_{a}(x)=1+a e^{-x}\cdot (-1)=1-a e^{-x}$

$1-a e^{-x}=0$

$a e^{-x}=1|\cdot e^{x}$

$e^{x}=a$

$x\ln(e)=\ln(a)$   mit    $\ln(e)=1$ :

$\red{x=\ln(a)}$      $f_{a}(\ln(a))=\ln(a)+a e^{-\ln(a)}\\=\ln(a)+\frac{a}{e^{\ln(a)}}=\ln(a)+1$

a muss größer als 0 sein, weil sonst nicht definiert.

Art des Extremum:

$f''_{a}(x)=-a e^{-x}\cdot (-1)= ae^{-x}=\frac{a}{e^{x}}$

$f''_{a}(\ln(a))=\frac{a}{e^{\ln(a)}}=1>0$ Minimum

Wendepunkte:

$f''_{a}(x)=\frac{a}{e^{x}}$

$\frac{a}{e^{x}}=0$→$a≠0$

Es gibt keinen Wendepunkt.

b) Welche Scharkurve $f_{a}$ besitzt ein auf der $x$-Achse liegendes Extremum

$\ln(a)+1=0$

$\ln(a)=-1$

$\ln(a)=-1$

$e^{\ln(a)}=a=e^{-1}=\frac{1}{e}$

Welche Scharkurve hat ihr Extremum auf der $\mathrm{y}$-Achse?

$\red{x=\ln(a)}$→$0=\ln(a)$

$e^{\ln(a)}=a=e^{0}=1$

c) Alle Extremalpunkte der Schar liegen auf ein und derselben Geraden $\mathrm{g}$. Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?

Koordinaten der Tiefpunkte:

E$(\ln(a)|\ln(a)+1)$

$x=\ln(a)$     $y=\ln(a)+1$

Ortskurve:

$y=x+1$ 

e) Welche Ursprungsgerade $h_{a}(x)=m x$ berührt den Graphen von $f_{a}$ ?

 $\frac{f(x)}{x}$  ist die Steigung zwischen einem Punkt der Funktion und dem Ursprung.

$\frac{x+a\cdot e^{-x}}{x} =1-a e^{-x}$→$x=-1$

$t(x) = f'(-1)·(x + 1) + f(-1) = (1 - e·a)·x$

Comments

e) ist falsch

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Das gibt Punkte und Geld!

Geld nicht, aber wenn Du es bei e) mit m = 1 - ea versuchen würdest, weniger Stirnrunzeln bei Deiner Leserschaft

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Hier nur noch mit Begründung:

e)

(x + a·e^-x)/x = 1 - a·e^-x --> x = -1

t(x) = f'(-1)·(x + 1) + f(-1) = (1 - e·a)·x

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Mir ist nicht klar, warum $\frac{f(x)}{x}$.

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das ist die Steigung zwischen einem Punkt der Funktion und dem Ursprung

m = (f(x) - 0)/(x - 0)

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Gesucht ist die Tangente, nicht die Asymptote (die man einfach ablesen kann).

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Danke für die beiden Kommentare.

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e) ist nun verbessert.