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Aufgabe:

Es sei \( A \) die \( 3 \times 3 \)-Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \).

a) Es sei \( \vec{x} \) der Vektor \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right) \). Bestimmen Sie den Bildvektor \( A \vec{x} \).

b) Zeigen Sie, dass die durch A gegebene lineare Abbildung jeden Vektor in die x_{1}-x_{2}-Ebene abbildet.

c) Zeigen Sie, dass die durch A gegebene lineare Abbildung eine Projektion ist.

d) Der Kern einer linearen Abbildung \( \vec{x} \mapsto A \vec{x} \) ist die Menge \( \operatorname{Ker} A=\{\vec{x} \mid A \vec{x}=\vec{o}\} \), das heißt also, die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Bestimmen Sie Ker \( A \) für die durch die oben angegebene Matrix definierte lineare Abbildung.

von

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a)   (-2;9;0)

b) A * (x,y,z) =  ( x-z ;  y+z ; 0 )  3. Komponente 0, also in xy-Ebene

c)  Projektion heißt ja wohl A*A(x) = A(x) kannst du nachrechnen, stimmt

d) A*(x,y,z) = 0

gibt siehe b)

x-z = 0 und y+z = 0

Also gilt das für alle Vektoren der Form ( t ; -t ; t ) mit t aus IR. Diese bilden den Kern.

von 259 k 🚀

Vielen Dank erstmal.

Bei der Teilaufgabe a) könnten sie mir da einen Rechenweg geben? 

kann das nicht ganz nachvollziehen:-(

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