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Anzahl Hölzchen

Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4
Figur 5
Figur 10
Figur 100
Figur n
3










Ich habe ein Problem. Wir müssen berechnen, wie viele Streichhölzer es für Dreiecke/Pyramiden braucht. Wir sollten eine Formel finden, mit der wir ohne zu zählen ausrechnen können, wie viele Streichhölzer man z. B. für eine Pyramide mit 100 Dreicken braucht.


Also für ein Dreieck braucht es ja drei Zündhölzer. Zwei Dreiecke kann man dann mit 5 Streichhölzern legen und drei mit 7. Dann baut man in die Höhe, dass es eine Pyramide gibt.
Also für 9 Dreiecke bräuchte es 18 Streichhölzer.

Ich habe mir folgende Formel überlegt. Dummerweise geht es mir nicht auf mit dieser Formel.
Kann mir vielleicht jemand sagen, wo ich da den Fehler gemacht habe?

1= 3

2=3+1*2

3= 3 + 2*2

4= 3 + 3*2

usw.

n= 3 + (n-1)*2

Danke für die Hilfe!

von

Ich schreibe die Anzahl Zündhölzer mal mit Indizes, damit es keine Verwechslung mit Zahlen gibt.

n1= 3

n2=3+ 3*2  = 9

n3= n2 + 5*2 = 9+10 = 19          Stimmt leider nicht!

vgl. Antwort von Yakyu: Zähle nur die ganzen Dreiecke, die hinzugefügt werden. Das sind diejenigen, die eine Seite rechts aussen haben.

n4= n3 + 7*2 = 19 + 14 = 33

usw.

nn= nn-1 + (2n-1)*2

Nun kannst du statt n1 auch f(1) schreiben.

Angenommen mein Aufstellung stimmt bis hier hin. Fortsetzung:

Da die Differenzen aufeinanderfolgender Zahlen linear zunehmen, nehmen die Funktionswerte quadratisch zu.

Ansatz f(n) = an^2 + bn + c 

Setze 3 Resultate in die Funktionsgleichung ein und bestimme a, b und c.


2 Antworten

+1 Daumen

noch mal von vorne: Folgende Beobachtung: Jeder untere Punkt ist die Spitze eines neuen Dreiecks beim Übergang zur nächsten Figur.

Figur 1: 1 Dreieck

Figur 2: 3 Dreiecke (2 kommen dazu)

Figur 3: 6 Dreiecke (3 kommen dazu)

Figur 4: 10 Dreiecke (4 kommen dazu)

usw.

Es gilt also: Figur n: ("Summe von 1 bis n") Dreiecke.

Tip: Habt ihr den kleinen Gauß gehabt?

Die Anzahl der Streichhölzer entspricht dann 3* Anzahl der Dreiecke der Figuren.

Gruß

von 24 k

Danke für die Antwort!

Aber man braucht ja nicht für alle Dreiecke drei Streichhölzer, sondern nur noch zwei.

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch

Was ich hier aufgezählt habe sind die separaten Dreiecke die du brauchst.

+1 Daumen

a1 = 3 ist klar

a2 = 3 + 2*3 = 9

a3 = 9 + 3*3 = 18

a4 = 18 + 4*3 = 30

a4 = 1*3 + 2*3 + 3*3 + 4*3

a4 = (1 + 2 + 3 + 4) * 3

an = n·(n + 1)/2 * 3 = 3·n·(n + 1)/2

von 391 k 🚀

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