0 Daumen
606 Aufrufe

Gegeben sei die Matrix A

1 2 a
a 1 1
-1 a 2

Ich soll herausfinden, für welche a die Determinante gleich null ist.

Ich habe zuerst die Determinante gebildet:

0 = a³-4a+2

Ab dieser Stelle bin ich mir im Vorgehen nicht sicher. Ich weiß,dass dadurch, dass a hoch 3 ist, es 3 Lösungen geben könnte. Die erste müsste ich schätzen. Das Problem ist, dass der geschätzte Wert richtig oder falsch sein kann, wie schätze ich nun richtig ?

von
det(A) = a3 - 4a = a·(a - 2)·(a + 2).

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

der Hinweis von Gast ist gut und richtig. 

Die Determinante ist eine Funktion, die jeder Matrix eine reelle Zahl zuordnet.
Es ist von entscheidender Bedeutung für die Eigenschaften der Matrix, ob die Determinante Null oder ungleich Null ist. Ist die Determinante der Matrix Null, so gibt es unendlich viele Lösungen bei homogenen Gleichungssystemen und keine Lösung bei inhomogenen Gleichungssystemen. Die Determinante spielt somit eine Rolle bei der Lösbarkeit.

Nun zu deiner Lösung:
Bei der Regel von Sarrus hast du dich sicher nur vertan, dein Ansatz ist richtig.

det(A) = a³ - 4a

Nullsetzen ist auch richtig.

0 = a³ - 4a

Richtig ist auch, dass ganzrationale Funktionen maximal so viele Nullstellen haben können wie der höchste Exponent. (Hier sind es drei)

Hat die Funktion einen Grad größer als 2 (Hier gleich drei), dann gibt es mehrere Möglichkeiten.

a) Ausklammern, wenn möglich. (Hier möglich, da kein absolutes Glied da ist) Das reduziert den Grad der ganzrationalen Funktion/ des Polynoms.

b) Polynomdivision/ Zerlegung in Linearfaktoren/ Schätzen einer Nullstelle und Division durch Term

c) Substitution bei biquadratischer Gleichung, (Grad vier)

d) Anwendung der cardanschen Formel bei Grad drei :-D

Ist der Grad der Funktion durch Ausklammern oder Polynomdivision als Faktor reduziert, könnten dann die Formeln für quadratische Funktionen genutzt werden, muss aber nicht. HIER ist der einfachste Ansatz
a) Ausklammern von einem a
b) Faktorisieren "des Restes" durch Anwendung der dritten binomischen Formel.

0 = a³ -4a = a(a² - 4) = a(a+2)(a-2)

Jeder Faktor für sich nullgesetzt, ergeben drei Nullstellen. Welche?

=> 



von

Danke für die Antwort, habe mich bei der Determinante wie immer verrechnet ^^

a=0; a= 2; a=-2

+1 Daumen

Die Determinante ist gleich a3-4a.

a3-4a=0 ⇔ a(a2 -4)=0 ⇔ a=0 oder a=2 oder a=-2

von 1,5 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community