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Hi! 
Schnelle Kontrolle bitte !

Ein rechteckiges Blatt soll eine bedruckte Fläche von 288cm² besitzen. Oben und unten sollen je 2cm, rechts und links je 1 cm freier Rand bleiben. Welche Maße müsste das Blatt erhalten, wenn der Materialaufwand möglichst klein sein soll?

Meine Lösung : 
NB: 288cm² = x*y    => 288/x=y

HB: A=(4+y)*(x+2) = (4+288/x)*(x+2)

Dann habe ich das ausmultipliziert, und komme auf A = 4x +296 + 576/x

Nun abgeleitet:

A'(x)=4-576/x² = 0

x ist dann 12 und y = 24. Als Flächeninhalt habe ich 392 heraus. In A''(x) habe ich 8 erhalten, das bestätigt doch meine Lösung oder ? 
Gruß Luis

von 2,0 k

Ich habe es mal nachgerechnet ! Ok.

2 Antworten

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Hi Luisthebro,


bestätige es auch nochmals hier, damit die Aufgabe erledigt ist^^.

Sehr gut! (Beachte beim Antwortsatz, welche Maße Du angibst...nicht etwa nur die Maße des bedruckten Teils des Blattes)



Grüße

von 139 k 🚀
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  Bei dieser Aufgabe bietet sich ===>  implizites Differenzieren  ( ID ) geradezu an, ein Verfahren, das man Schülern nicht groß zu erklären braucht.


      A  (  x  ;  y  )  :=  x  y   =  min          (  1a  )


    Die Ableitung von A   nach  x  verschwindet.  Doch nirgends wird nach y umgestellt, daher " implizit "     Dass  y in Wirklichkeit von x abhängt, berücksichtigen wir wie üblich mit der Kettenregel  ( und natürlich auch Produktregel )


     A  '  =  y  +  x  y  '  =  0        (  1b  )


    Unsere  NB  wird ein bissele  tricky .


       (  x  -  2  )  (  y  -  4  )  =  288      (  2a  )


       Jetzt folgt genau das, was euch am Leichtesten fällt. Hier ist es ausnahmsweise mal eine Tugend:  Klammern auflösen.


          A  (  x  ;  y  )  -  4  x  -  2  y  +  8  =  288    (  2b  )

      G  (  x  ;  y  )  :=  A  -  4  x  -  2  y  =  const  =  280    (  2c  )


    Heute ist ein historischer Tag;  weil das hatte ich bisher noch nie, dass die HB  in der  NB  enthalten ist.  Weil wenn ich die Konstante ( 2c  ) ableite, dann steht rechts natürlich Null.  Aber beim  ID  muss der A-Term natürlich auch das Zeitliche segnen wegen  ( 1b ) ; das hatten wir uns bereits überlegt.  Es bleibt also nur noch


         -  4  -  2  y  '  =  0  ===>  y  '  =  (  -  2  )      (  3a  )


     Und das Ergebnis ( 3a ) brauchen wir   in  (  1b  )


      y  -  2  x  =  0       (  3b  )


       Hier  ID  scheint nicht von schlechten eltern zu sein;  in ( 3b ) wissen wir schon:  Das Blatt hat Format  1  X  2   .   Alles was jetzt noch zu tun bleibt: die absoluten Maße ermitteln.

   Hier wenn du da mal genauer drüber nachdenkst;  nirgends schleppt sich  ID  mit absoluten   Modellkonstanten ( wie beispielsweise  288 )  Deshalb kriegst du das Ergebnis immer in Form   eines allgemeinen Gesetzes  so wie in  ( 3b )

     An diese   Betrachtung allgemeiner Art schließt sich immer die Phase der Nachbereitung an;    wir müssen y  aus  ( 3b ) einsetzen in ( 2a ) , um das konkrete nummerische Ergebnis zu erhalten.


       (  x  -  2  )  (  2  x  -  4  )  =  288    |  :  2      (  4a  )

      (  x  -  2  )  ²  =  144     (  4b  )


     Wie  OFT  habe ich euch gepredigt

    1) Löst nicht vorschnell Geist los  Klammern auf  ohne Sinn und Verstand.

    2) Auch gleichungen sind zu kürzen.


     D.h. das Blatt hat Format  14  X  28  =  2  *  14 ²  =  392  cm  ²

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