Was ist die Potenzmenge der leeren Menge P(∅)? Kann eine Ordnungsrelation gleichzeitig eine Äquivalenzrelation sein?

Question

Aufgabe (Mengenlehre - ein paar Verständnisfragen, Studium):

1. Was ist der Unterschied zwischen = und :=?

2. Was ist die Potenzmenge der leeren Menge \( P(\varnothing) \) ?

3. Gibt es Mengen \( A, B \) mit \( A \subset B, A \neq B \), aber \( |A|=|B| \) ?

4. Was ist \( \bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{n}\{x \in \mathbb{R} \mid-n<x<n\} \).

5. Kann eine Ordnungsrelation gleichzeitig eine Äquivalenzrelation sein?

6. Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge \( M \) in disjunkte Äquivalenzklassen ein. Sei umgekehrt eine Einteilung von \( M \) in disjunkte Teilmengen gegeben, deren Vereinigung gerade \( M \) ergibt. Gibt es eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen genau diese Teilmengen sind?

7. Was ist der Unterschied zwischen einer partiellen Ordnung und einer linearen Ordnung?

8. Seien \( f: M \rightarrow N \) und \( g: N \rightarrow M \) Abbildungen mit der Eigenschaft, dass \( g \circ f: M \rightarrow M \) die identische Abbildung auf \( M \) ist. Ist dann auch \( f \circ g: N \rightarrow N \) die identische Abbildung auf \( N \) ?

9. Gibt es eine injektive Abbildung von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{N} ? \)

Ansatz/Problem:

Hätte bei ein paar Aufgaben selbst eine Lösung, jedoch bin ich ziemlich unsicher:

1. = ist gleich      =: ist definiert durch

2. 1 oder P(Θ) ={Θ}

3. Ja, aber weiß nicht wieso.

6. Würde ja sagen.

Answer 1

zu  1)         := ist ein Zeichen, dass man zur Definition benutzt, wenn man etwa sagen will die
Länge der Strecke AB nenne ich für meine Überlegung x, dann schreibt man
   x := |AB|
Das "normale" gleichheitszeichen benutzt man um eben Gleichheit auszudrücken, etwa
             (a + b) ^2 = a^2 +  2ab + b^2
zu 2) Potenzmenge der leeren Menge ist die Menge aller Teilmengen der leeren Menge,
davon gibt es nur eine, nämlich die leere Menge selbst.

zu 3) klar, die Striche vor und hinter dem A bzw. B bedeuten ja
" Anzahl der Elemente", also sind z.B.
     A = {1;2} und B = { 3;4}  zwei solche Mengen

zu 4) Das ist die Vereinigung aller offenen Intervalle von ] -n ; n [ also gleich IR

zu 5) eher nicht, denn bei einer Äquivalenzrel. muss ja immer aus aRb auch bRa folgen
und das ist für verschiedene a,b bei einer Ordnungsrelation nicht gegeben.

zu 6) klar. Du nimmst einfach die Relation mit
a R b gilt genau dann, wenn es eine dieser Teilmengen gibt, in der a und b beide vorkommen.

zu 7) bin mir nicht ganz sicher, meine aber lineare Ordnung bedeutet:
je zwei Elemente der Menge sind vergleichbar, also es gilt immer
a<b oder b<a  oder a=b 
bei partiellen Ordnungen gibt es auch welche, die verschieden sind, aber weder
a <b noch b<a gilt.   Musst du vielleicht mal was googeln.

8 )  ?
9) nein. Schau mal unter Cantorsches Diagonalverfahren

Comments

Das Beispiel für 3) ist nicht korrekt.

5) ist auch falsch.

Answer 2

1) und 2) korrekt

3) Beachte \(\mathbb{N} \) und \(\mathbb{Z} \)

4) Das ist \( \mathbb{R} \)

5) Ja das ist möglich.

6) Ja gibt es. (also korrekt)

7) Die Totalität

8) Ja, man schaue sich einfach g°f°g°f an.

9) Nein.

Gruß