Beweise finden in einem angegebenen Intervall (stetige Funltion)

Question

meine Aufgabe:

Man nennt x_a einen Fixpunkt einer Funktion f, wenn  f(x_a) = x_a  gilt.

Beweisen SIe: Jede auf eienm Intervall [a;b] stetige Funltion f , deren Wertemenge f ([a;b]) enthalten ist in dem Intervall [a;b] , d.h. f([a;b] ) ⊂ [a;b] , hat mindestens einen Fixpunkt.

Anleitung: Wenden Sie den Nullstellensatz auf eine geeignete Funktion g an.

Bin leider komplett Überfordert.

Danke an jeden der mir helfen möchte

Lg

Comments

Tipp: Betrachte die Funktion \(g(x):=f(x)-x\).

Answer 1

Mit dem Tipp   h(x) = f(x) - x

hast du jedenfalls auch eine stetige Funktion auf [a;b].

Berechne nun

h(a) = f(a) - a ≥ 0, da f(a) ja wegen f([a;b]) ⊂ [a;b] aus dem Intervall [a;b] ist, also größer oder gleich a.

Ebenso ist  h(b) = f(b) - b ≤0

Nach dem Zwischenwertsatz muss es für jede Zahl zwischen  h(a) und h(b)

eine Stelle im Intervall [a;b] geben, für die h diesen Zwischenwert annimmt.

da 0 jedenfalls zwischen h(a) und h(b)  ( einer größergleich o und einer kleiner gleich)

liegt, gibt es ein x aus [a;b]  mit h(x) = 0   also   f(x) - x = 0  also  f(x) = x

Answer 2

Dort , wo h(x) = 0 gilt , ist f(x) -x = 0 , also f(x) = x !!