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\(W_1, ..., W_r \subseteq V\) sind Untervektorräume des \(K\)-Vektorraumes \(V\).

Zeige \(dim(W_1 + ... +W_r)  \le dim W_1 + ... + dim W_r \).


Meine Gedanken:

Ich weiß, dass \(W_1 + ...+ W_r =: X \) ein Untervektorraum ist. Es gilt auch z.B. \(W_1 \subseteq X \). Für ein beliebiges Untervektorraum \( W \) gilt \( dim W \le dim V \). Damit habe ich

\(dim W_1 + ... + dim W_r \le dim (W_1 + ... + W_r ) \cdot r\)

Wo ist mein Fehler bzg. wie komme ich auf diese Ungleichung?

von

PS. Ich glaube es gilt gar nicht \(W_1 \subseteq X\).


Es geht doch, denn jeder Untervektorraum, enthält den Nullvektor, somit ist für \(x \in W_1\), \(x = x + 0 + ... + 0 \) also \(x \in W_1 + ... + W_r\). Meine Frage ist jedoch noch offen!

1 Antwort

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Entweder mit der Formel dim(U+V) ≤ dim(U) + dim(V)

(falls du die verwenden darfst)  und vollst. Induktion.

oder wenn du in jedem Wi eine Basis hast, dann ist die

Vereinigung all dieser Basen ein Erzeugendensystem

für die Summe der Wi und da jedes Erz.syst. auf eine

Basis reduziert werden kann, gibt es eine Basis für den

Summenraum, deren Elementezahl kleiner oder gleich

der Summe der einzelnen Dimensionen ist.  q.e.d.

von 229 k 🚀

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